Хочу вчитися на ВМК!

Абітурієнту

С.С.Чесноков, С.Ю.Нікітін,
І.П.Ніколаев, Н.Б.Подимова,
М.С.Полякова, проф. В.І.Шмальгаузен, фізфак МГУ, г. Киев

17 Посудина, що має форму куба зі стороною h = 1 м, розділений вертикальною перегородкою на дві рівні частини, сполучені між собою у дна посудини. Ліва половина зверху запаяна, а права відкрита. У кожній половині є плоский невагомий поршень, а посудина заповнена частково водою і частково газом (див. Малюнок). Спочатку правий поршень знаходиться врівень з верхнім краєм посудини, а лівий - рівно на половині його висоти. Потім на правий поршень кладуть вантаж масою М, в результаті чого цей поршень переміщається на відстань d = 25 см. Визначте масу вантажу, якщо щільність води r = 1000 кг / м 3. атмосферний тиск p0 = 10 5 Па, а прискорення вільного падіння g = 10 м / с 2. Температуру газу вважати постійною.

Розглянемо спочатку систему в початковому стані (без вантажу). Обсяг газу в цьому випадку дорівнює

а тиск газу відповідно до закону Паскаля становить

Рівняння початкового стану газу має вигляд:

Коли на правий поршень кладуть вантаж, обсяг і тиск газу стають рівними відповідно:

Рівняння стану газу в цьому випадку має вигляд:

Прирівнюючи ліві частини рівнянь стану, після нескладних перетворень отримуємо відповідь:

18 Математичний маятник здійснює малі коливання. Відомо, що через час t = 0,314 с після проходження маятником положення рівноваги його відхилення склало деяку величину a 0. а через час 2 t - величину Знайдіть довжину маятника, якщо 2t менше напівперіоду його коливань. Прискорення вільного падіння прийняти g = 10 м / с 2.

Нехай в момент проходження маятником положення рівноваги t = 0. Тоді залежність кута відхилення маятника від часу має вигляд:

де A - амплітуда коливань, w - кутова частота. За умовою завдання,

Оскільки з цих рівностей випливає, що

З огляду на, що кутова частота вільних коливань математичного маятника після нескладних перетворень отримуємо відповідь:

19 Брусок масою m = 9 г може здійснювати поступальний рух по прямій між двома повітряними пружинами жорсткістю k1 = 0,25 Н / м і k2 = 0,16 Н / м. У недеформованому стані пружин відстань між їх кінцями L = 20 см. У початковий момент часу пружина k1 стиснута на величину D l = 1 см, а брусок розташований впритул до її кінця. Через якийсь час t після того, як брусок відпустять, він повернеться в початкове положення? Розмірами бруска знехтувати.

Шукане час складається з трьох часів: половини періоду T1 коливань бруска на пружині k1. часу 2L / v рівномірного руху бруска між пружинами і половини періоду T2 коливань бруска на пружині k2. Для знаходження T1 і T2 скористаємося відомою формулою для періоду вільних коливань бруска масою m на пружині жорсткістю ki:

Швидкість рівномірного руху бруска можна знайти із закону збереження енергії, справедливого при вільних коливаннях:

Звідси Об'єднуючи записані вирази, отримуємо відповідь:

20 На гладкому горизонтальному столі лежить дерев'яний брусок, прикріплений пружиною до вертикальної стінки. В брусок потрапляє куля масою m = 10 г, що летить горизонтально уздовж осі пружини, і застряє в ньому. Визначте жорсткість пружини k, якщо відомо, що час, протягом якого стискалася пружина після попадання кулі в брусок, T = 0,1 с, відношення кількості теплоти, що виділилася при взаємодії кулі з бруском, до початкової кінетичної енергії кулі a = 0,9 . Тертям бруска об стіл, а також масою пружини знехтувати.

Позначимо через M масу бруска. Із закону збереження імпульсу і закону зміни механічної енергії слідують рівності:

де u - швидкість кулі і бруска після зіткнення, Q - кількість теплоти, що виділилася при взаємодії кулі з бруском, причому, за умовою, Час T, протягом якого стискалася пружина, дорівнює чверті періоду коливань тіла масою (M + m) на пружині жорсткістю k, тобто

Об'єднуючи записані вирази, після нескладних перетворень отримуємо відповідь:

21 Маленька кулька, підвішений на нитці, відхиляють від положення рівноваги і відпускають без початкової швидкості. Визначте, з яким прискоренням a1 почне рухатися кулька, якщо відомо, що в момент проходження кулькою нижньої точки траєкторії його прискорення a2 = 15 м / с 2. Нитка вважати невагомою і нерастяжимой, опір повітря не враховувати. Прискорення вільного падіння прийняти g = 10 м / с 2.

Нехай m - маса кульки, l - довжина нитки, a - початковий кут відхилення маятника. Оскільки прискорення кульки в початковий момент часу направлено по дотичній до траєкторії, величина прискорення a1 визначається проекцією сили тяжіння mg на цей напрямок, тобто

Згідно із законом збереження енергії,

де v - швидкість кульки в нижній точці. Прискорення кульки в цій точці Об'єднуючи записані вирази, отримуємо відповідь: