Характеристики лінійних ланок - студопедія

Під динамічним ланкою розуміється пристрій будь-якого фізичного вигляду і конструктивного оформлення, але має певне математичний опис.

Характеристика ланки - це його реакція на певний вхідний вплив. Для лінійних ланок і лінійних систем в цілому характеристика повністю визначає їх динамічні властивості, так як до лінійним ланкам і системам можна застосувати принцип суперпозиції, що дозволяє по реакції лінійного елемента на будь-яке відоме вплив знайти його реакцію на вплив довільного виду.

В якості вхідних впливів, на які шукається реакція ланки, прийняті впливу, описувані елементарними математичними функціями, тобто такими, на які можна розкласти будь-які довільні функції. В теорії управління як елементарних функцій використовуються:

1) одинична імпульсна або дельта-функція d (t);

2) одинична ступінчаста функція 1 (t);

3) гармонійна функція X0 sin (wt).

Існують тимчасові (імпульсна і перехідна функції) і частотні характеристики.

Імпульсна або вагова функція ланки w (t). Імпульсна або вагова функція являє собою реакцію ланки на одиничну імпульсну функцію.

Єдиної імпульсної функцією або d-функцією називається функція, що дорівнює нулю всюди, крім початку координат, але до того ж так, що інтеграл від неї з будь-якого інтервалу, який містить нуль, дорівнює одиниці, тобто

Крім того, при будь-якому e> 0.

Мал. 3.1. Тимчасові діаграми вхідного і вихідного сигналів ланки

Інакше кажучи, вагова функція w (t) являє собою перехідний процес на виході ланки (рис. 3.1) при подачі на його вхід одиничного імпульсу.

Ваговій функцією ланки w (t) називається оригінал (тобто зворотне перетворення Лапласа) передавальної функції, а саме:

де si - все полюса (коріння знаменника) передавальної функції W (s). У цій формулі Res позначає відрахування.

Знаючи імпульсну функцію w (t), можна знайти реакцію ланки на будь-який вхідний вплив x (t), розкладання якого на d-функції має вигляд:

При цьому сигнал на виході лінійного ланки визначається як

де t - допоміжний час інтегрування.

Маючи вагову функцію ланки w (t), можна визначити його передавальну функцію:

Перехідна функція ланки h (t). Перехідна функція являє собою реакцію ланки на одиничну ступінчасту функцію, що задовольняє умові

Як бачимо (рис. 3.2), перехідна функція є перехідним процесом на виході ланки при одиничному стрибку на його вході.

Мал. 3.2. Тимчасові діаграми вхідного і вихідного сигналів ланки

З розглянутого вище для лінійних ланок очевидні наступні співвідношення між імпульсної та перехідної функціями. оскільки

Перехідна функція ланки пов'язана з функцією передачі перетворенням Карсона, тобто є наступне інтегральне перетворення:

Вагова та перехідна характеристики є функціями часу і тому ставляться до тимчасових характеристик.

Частотні характеристики ланки. Частотними характеристиками називаються формули і графіки, що характеризують реакцію ланки на гармонійне вхідний вплив в сталому режимі, тобто вимушені синусоїдальні коливання ланки.

Якщо на вхід лінійного ланки подати гармонійне вплив

де X0 - амплітуда,

w - кутова частота, що має розмірність [рад / с] або [c -1],

то, як випливає з необхідних і достатніх умов лінійності, на виході ланки в сталому режимі буде також гармонійна функція тієї ж частоти, але, в загальному випадку, інший амплітуди Y0 і зрушена по фазі щодо вхідної величини на кут y

Зв'язок між вихідний гармонікою і вхідний встановлюється за допомогою частотної передавальної функції ланки W (jw).

Частотна передаточна функція є найважливішою динамічною характеристикою ланки і являє собою відношення зображень по Фур'є вихідного і вхідного сигналів при нульових початкових умовах і рівних нулю впливах на інших входах:

З порівняння перетворень Фур'є і Лапласа випливає, що частотну передавальну функцію ланки легко отримати з його передавальної функції шляхом заміни s на jw, тобто

Частотна передаточна функція W (jw), як видно, є комплексне число, яке можна записати як в полярній, так і декартовой системах координат:

W (jw) = A (w) = U (w) + jV (w), (3.8)

де А (w) - модуль або амплітуда частотної передавальної функції, що є відношенням амплітуди вихідної величини до амплітуди вхідний, тобто коефіцієнт посилення ланки k на частоті w

А (w) = | W (jw) | = Mod W (jw) =; (3.9)

y (w) - аргумент або фаза частотної передавальної функції, показує фазовий зсув вихідний гармоніки по відношенню до вхідних на частоті w

y (w) = arg W (jw); (3.10)

U (w) - речова складова частотної передавальної функції

V (w) - уявна складова частотної передавальної функції

пов'язують між собою складові частотної передавальної функції.

Таким чином, частотна передаточна функція, яка визначає реакцію ланки на гармонійні коливання всіх можливих частот, дозволяє, користуючись принципом суперпозиції, знайти реакцію лінійного ланки на довільне вплив.

Вираз (3.8) являє амплітудно-фазову частотну характеристику ланки. Вирази (3.9) і (3.10) називаються відповідно амплітудною частотною характеристикою ланки і фазової частотної характеристикою ланки, а вираження (3.11) і (3.12) - речової частотної характеристикою і уявної частотної характеристикою ланки.

Для наочного уявлення частотних властивостей ланки частотні характеристики відображають графічно.

Амплітудно-фазова частотна характеристика (АФЧХ). Будується на комплексній площині і являє собою геометричне місце кінців векторів (годографов), відповідних частотної передавальної функції W (jw) при зміні частоти від нуля до нескінченності (рис.3.3). Для кожної частоти w на комплексній площині наноситься точка, отримані точки з'єднуються потім плавною кривою. АФЧХ можна будувати як в декартових координатах (U, V), так і в полярних (A, y).

Мал. 3.3. Амплітудно-фазова частотна характеристика

АФЧХ будується як для позитивних, так і для негативних частот. При заміні в W (jw) w на -w виходить сполучена комплексна величина. Тому АФЧХ для негативних частот є дзеркальним відображенням відносно дійсної осі АФЧХ для позитивних частот. На рис.3.3 АФЧХ для негативних частот показана пунктирною лінією. Довжина вектора, проведеного з початку координат в точку АФЧХ, відповідну обраної частоті w, дорівнює А (w), а кут між вектором і позитивним напрямком дійсної осі дорівнює y (w).

Амплітудна частотна характеристика (АЧХ). Показує, як пропускає ланка сигнал різної частоти, інакше, являє собою коефіцієнт зміни амплітуди гармонійних коливань при проходженні через ланка (рис. 3.4).

Мал. 3.4. Амплітудна частотна характеристика

де wр - резонансна частота, тобто частота, на якій амплітуда частотна характеристика досягає максимуму, інакше, на цій частоті ланка має максимальний коефіцієнт підсилення;

wс - частота зрізу, частота, на якій амплітуда частотна характеристика, зменшуючись, приймає значення, рівне одиниці, і при подальшому підвищенні частоти залишається менше одиниці;

Wп - частота пропускання, частота, на якій амплітуда частотна характеристика, зменшуючись, приймає значення, рівне 0,707, і при подальшому підвищенні частоти не збільшується;

Dwп = 2wп - смуга пропускання, діапазон частот гармонійних коливань, що пропускаються ланкою без помітного ослаблення.

Фазова частотна характеристика (ФЧХ). Показує фазові зрушення, що вносяться ланкою на різних частотах (рис.3.5).

Мал. 3.5. Фазова частотна характеристика

Матеріальна частотна характеристика (ВЧХ). Являє собою залежність речової складової частотної передавальної функції від частоти (рис. 3.6).

Мал. 3.6. Матеріальна частотна характеристика

Уявна частотна характеристика (МЧХ). Являє собою залежність уявної складової частотної передавальної функції від частоти (рис.3.7).

Мал. 3.7. Уявна частотна характеристика

Логарифмічні частотні характеристики (ЛЧХ). На практиці найчастіше амплитудную і фазову частотні характеристики зображують в логарифмічному масштабі (рис. 3.8).

Мал. 3.8. Логарифмічні частотні характеристики

При побудові логарифмічною амплітудної частотної характеристики (ЛАХ) по осі ординат відкладають величину

L (w) = 20 lg A (w) = 20 lg | W (jw) |. (3.13)

Ця величина виражається в децибелах [дБ]. Бел представляє собою логарифмічну одиницю, відповідну десятиразового збільшення потужності. Один бел відповідає збільшенню потужності в 10 разів, 2 білого - в 100 разів і т.д. Децибел дорівнює одній десятій частині білого. Так як А (w) являє собою стосується не потужностей, а амплітуд, то збільшення цього відношення в десять разів відповідає двом Белам або двадцяти децибелам. Тому в правій частині (3.13) варто множник 20. По осі абсцис відкладається частота w в логарифмічному масштабі lg (w). Рівномірної одиницею на осі абсцис є декада [грудня] - будь-який відрізок, на якому значення частоти w збільшується в десять разів. Точка перетину Лах з віссю абсцис відповідає частоті зрізу wс. Верхня напівплощина Лах відповідає значенням А> 1 (посилення амплітуди), а нижня напівплощина - значенням А<1 (ослабление амплитуды).

При побудові логарифмічною фазовою частотною характеристики (ЛФХ) відлік кутів y (w) = argW (jw) йде по осі ординат в звичайному масштабі в кутових градусах.

Головним достоїнством логарифмічних частотних характеристик є можливість побудови їх у багатьох випадках практично без обчислювальної роботи.

Всі розглянуті види динамічних характеристик ланок (передавальна функція, диференціальне рівняння, вагова функція, перехідна функція, амплітудно-фазова частотна характеристика) пов'язані між собою. Тому всі вони еквівалентні один одному у визначенні динамічних властивостей ланки системи управління.