Границя числової послідовності, рішення математичних задач

Границя числової послідовності.

Елементи числової послідовності дійсних чисел зручно зображувати на числовій прямій, при цьому вони можуть бути розташовані на ній хаотично (не підпорядковане ніякому закону або правилом) або як то впорядковано.
Вони можуть прагнути до якогось числу. Тобто зі зростанням номера елемент стає все ближче і ближче до якого-то числа.

визначення:
Число А називається межею числової послідовності якщо для будь-якого числа існує такий номер. залежить від, що, починаючи з цього номера всі елементи послідовності віддалені від А не більше ніж на (належать -окрестності числа А). І позначається
зауваження:
В математиці загальноприйнятими вважаються позначення:
1). замінює словосполучення «для будь-якого».
2). замінює слово «існує».

Визначення (на мові "" (читається «на мові епсилон-дельта»)):
Число А називається межею числової послідовності якщо:

позначається
приклад:
Довести, що межею послідовності при прагненні до нескінченності є 1.

Доведення:
Довести, що число є межею послідовності означає вказати закон, за яким, вибравши довільне. можна знайти номер, з якого елементи послідовності будуть лежати в -окрестності цього числа.
1. Отже, слід дотримуватися нерівності

Підставами вираз для загального члена послідовності і значення межі з умови цього завдання

Оскільки (Тобто позитивне), то можна розкрити модуль

Висловимо з отриманого нерівності:

2.
Прирівняємо.
Отриманий вираз і є шуканий закон, за яким, вибравши довільне, можна знайти номер, з якого елементи послідовності будуть лежати в -окрестності цього числа.
Давайте розберемося.
а) вибираємо довільне.
б) підставляємо його в вираз (***) і знаходимо значення.
в) для будь-якого буде вірно нерівність (**) тому, що права частина нерівності (**) і є значення, яке присвоєно.
г) а нерівність (**) рівносильна нерівності (*) (це воно ж, тільки перетворене), тобто для будь-якого числа можна вказати такий номер. що, починаючи з цього номера, все елементи послідовності віддалені від 1 не більше ніж на. а значить 1 є межею послідовності.
приклад:
Відомо що . Потрібно знайти для:
а)
б)
в)
Рішення:
У попередньому прикладі було знайдено функціональна залежність між і:
.
а). . тобто починаючи з 10-го номера всі елементи послідовності відстоять від 1 не більше, ніж на 0,1.
Обчислимо кілька значень елементів:

Відзначимо їх на числовій осі.

б),
тобто починаючи з 100-го номера всі елементи послідовності відстоять від 1 не більше, ніж на 0,01.
Мал.
в).
тобто починаючи з 1000-го номера всі елементи послідовності відстоять від 1 не більше, ніж на 0,001.