Головні напруги

При зміні орієнтації граней виділеного елемента змінюються також діючі на його гранях напруги. При цьому можна провести такі майданчики, на яких дотичні напруження дорівнюють нулю. Майданчики, на яких дотичні напружень немає, називаються головними майданчиками. а нормальні напруги на цих майданчиках - головними напруженнями. Як би не було завантажено тіло, в кожній точці його є, принаймні, три головні майданчики, причому вони взаємно перпендикулярні. Отже, в кожній точці можуть діяти і три головних напруги і вони теж взаємно перпендикулярні. Напрямки, паралельні головним напруженням, називаються головними напрямками напруг або головними осями в даній точці.

Головні напруги домовимося позначати # 963; 1. # 963; 2 і # 963; 3; при цьому індекси слід розставляти так, щоб виконувалася нерівність

Розуміти це нерівність слід в алгебраїчному сенсі. Тому, якщо, наприклад, одне з головних напружень дорівнює нулю, інше (розтяжне) становить 60 МПа, третє (стискаючий) одно -140 МПа, то їх позначають так:

Таким чином, в точках навантаженого тіла можна виділити елементарні паралелепіпеди, на гранях яких діють тільки нормальні - головні напруження.

Види напруженого стану:

1) лінійне напружений стан - коли на елементарний паралелепіпед діє одне головне напруга (розтягнення або стиснення) (рисунок 7.4)

Рисунок 7.4 - Лінійне напружений стан

Малюнок 7.5 - Плоске напружений сотояние

2) Плоский напружений стан - коли на елементарний паралелепіпед діє 2 головних напруги (рисунок 7.5).

Малюнок 7.6 - Приклад

3) Об'ємне напружений стан - коли на елементарний паралелепіпед діє все три головних напруги:

Малюнок 7.7 - Об'ємне напружений стан

Крім того, розрізняють однорідні і неоднорідні напружені стану. В однорідному напруженому стані напруги однакові в кожній точці якого - або перетину і всіх паралельних йому перетинів. У разі однорідного напруженого стану розміри виділених елементів не грають ніякої ролі, так як напруги однакові у всіх точках однієї (будь-який) межі і, отже, рівномірно розподілені по кожній грані.

У неоднорідному напруженому стані елемент слід вважати нескінченно малим. Тоді припущення про рівномірний розподіл напружень по його гранях виконується з точністю до малих другого порядку.

Отже, незалежно від того, однорідне або неоднорідне напружений стан буде у всьому тілі, виділені елементи розглядаємо перебувають в однорідному напруженому стані.

При розрахунку елементів конструкцій на міцність визначають екстремальні значення нормальних і дотичних напружень в точках навантаженого тіла, а також положення майданчиків, на які вони діють. Вирішуючи таку задачу, вважають, що напруги на гранях паралелепіпеда, виділеного в точці, відомі і потрібно знайти напруги на будь-яких майданчиках, проведених в околиці точки. Вона легко вирішується з розгляду рівноваги частини паралелепіпеда, відсіченою даної майданчиком. Найбільш просто вирішити поставлену задачу, якщо початковий елемент представлений головними майданчиками, а вихідними є головні напруження.

Узагальнений закон Гука.

При розтягуванні-стисненні закон Гука мав такий вигляд:

# 956; - коефіцієнт Пуассона

Розглянемо об'ємний напружений стан в разі всебічного розтягування (рисунок 7.8)

Малюнок 7.8 - Розрахункова схема

Використовуючи принцип незалежності дії сил, розглянемо дію кожного # 963; окремо, а результат складемо:

i - вказує на те, яким напрузі паралельна дана # 949;

j - вказує на причину даної деформації, тобто напруга, яке викликало дане # 949 ;.

Наведені формули виражають узагальнений закон Гука для ізотропного тіла, тобто залежність між лінійними деформаціями і головними напруженнями в загальному випадку тривісного напруженого стану. Зауважимо, що стискають напруги підставляють в ці формули зі знаком «мінус».