Гіпербола і її канонічне рівняння

Визначення. Гіперболою називається геометричне місце точок, різниця від кожної з яких до двох даних точок, які називаються фокусами є величина постійна

Візьмемо систему координат, так щоб фокуси лежали на осі абсцис, а початок координат ділило відрізок F1 F2 навпіл (рис. 30). Позначимо F1 F2 = 2c. Тоді F1 (с; 0); F2 (-c; 0)

F2 = r2. MF1 = r1 - фокальні радіуси гіперболи.

Згідно визначення гіперболи r1 - r2 = const.

Позначимо її через 2а

=> Канонічне рівняння гіперболи

Так як рівняння гіперболи х і у в парних ступенях, то якщо точка М0 (х0; у0) лежить на гіперболі, то на ній лежать також точки М1 (х0; -у0) М2 (-х0; -у0) М3 (-х0; -у0).

Отже, гіпербола симетрична щодо обох координатних осей.

При у = 0 х 2 = а 2 х = ± а. Вершинами гіперболи будуть точки А1 (а; 0); А2 (-а; 0).

. В силу симетрії дослідження ведемо в I чверті

1) при

у має уявне значення, отже, точок гіперболи з абсциссами

не існує

2) при х = а; у = 0 А1 (а; 0) належить гіперболі

3) при x> a; y> 0. Причому при необмеженому зростанні х гілка гіперболи йде в нескінченність.

Звідси випливає, що гіпербола являє собою криву, що складається з двох нескінченних гілок.

П 6. Асимптоти гіперболи

Розглянемо разом з рівнянням

рівняння прямої

До

рівая лежатиме нижче прямої (рис. 31). Розглянемо точкіN (x, Y) і М (х, у) у якій абсциси однакові, а У - у = MN. Розглянемо довжину відрізка MN

Отже, якщо точка М, рухаючись по гіперболі в першій чверті видаляється в нескінченність, то її відстань від прямої

зменшується і прямує до нуля.

В силу симетрії таким же властивістю володіє пряма

Визначення. Прямі до яких при

крива необмежено наближається називаються асимптотами.

так, рівняння асимптот гіперболи

Асимптоти гіперболи розташовуються по діагоналях прямокутника, одна сторона якого паралельна осі ох і дорівнює 2а, а інша паралельна осі оу і дорівнює 2в, а центр лежить на початку координат (рис. 32).

П 7. Ексцентриситет і директриси гіперболи

r2 - r1 = ± 2a знак + відноситься до правої гілки гіперболи

знак - відноситься до лівої гілки гіперболи

Определеніе.Ексцентрісітетом гіперболи називається відношення відстані між фокусами цієї гіперболи до відстані між її вершинами.

. Так як c> a, ε> 1

Висловимо фокальні радіуси гіперболи через ексцентриситет:

Визначення. назвемо прямі

, перпендикулярні фокальній осі гіперболи і розташованими на відстані

від її центру директрисами гіперболи, відповідні правому і лівому фокусів.

ак як для гіперболи

отже, директриси гіперболи, розташовуються між її вершинами (рис. 33). Покажемо, що відношення відстаней будь-якої точки гіперболи до фокуса і відповідної директриси є величина постійна і рівна ε.

П. 8 Парабола і її рівняння

Про

пределеніе.Парабола є геометричне місце точок равностоящих від даної точки, званої фокусом і від даної прямої званої директоркою.

Щоб скласти рівняння параболи приймемо за вісь х пряму, що проходить через фокус F1 перпендикулярну до директрисі і будемо вважати вісь х спрямованої від директриси до фокусу. За початок координат візьмемо середину Про відрізка від точки F до даної прямої, довжину якого позначимо через р (рис. 34). Величину р назвемо параметром параболи. Точка координат фокуса

Нехай М (х, у) - довільна точка параболи.

у2 = 2рх - канонічне рівняння параболи

Для визначення виду параболи перетворимо її рівняння

звідси випливає . Отже, вершина параболи знаходиться на початку координат і віссю симетрії параболи є ох. Рівняння у 2 = -2рх при позитивному р зводиться до рівняння у 2 = 2рх шляхом заміни х на -х і її графік має вигляд (рис. 35).

рівняння х 2 = 2ру є рівнянням параболи з вершиною в точці О (0; 0) гілки якої спрямовані вгору.

2 = -2ру - рівняння параболи з центром на початку координат симетрична щодо осі у, гілки якої спрямовані вниз (рис. 36).

У параболи одна вісь симетрії.

Якщо х в першого ступеня, а у в другій, то вісь симетрії є х.

Якщо х в другому ступені, а у в першій, то вісь симетрії є вісь оу.

Зауваження 1.Уравненіе директриси параболи має вигляд

Зауваження 2.Так як для параболи

, тоεпараболи дорівнює 1.ε = 1.