Геометричний сенс визначника матриці грама

Властивість 2.7. Визначник матриці Грама від лінійно залежною системи векторів дорівнює 0.

Доведення. Нехай система векторів - лінійно залежна. Тоді, або система містить нульовий вектор, і твердження в цьому випадку очевидно, або знайдеться вектор, лінійно виражається через попередні вектори системи. У матриці Грама віднімемо з i-го рядка, попередні рядки з коефіцієнтами. Визначник матриці Грама при цьому не зміниться, а i-й рядок стане рівною нулю. Визначник матриці з нульовою рядком дорівнює нулю, а, значить, і визначник матриці Грама дорівнює нулю.

Розглянемо геометричний зміст матриці Грама від лінійної незалежною системи векторів. Якщо k = 1, то - квадрат довжини вектора. Якщо k> 1, то можна застосувати до системи векторів процес ортогоналізації й побудуємо ортогональну систему векторів. Позначимо через P матрицю переходу від системи до системи. Ця матриця має трикутний вигляд, а на її головній діагоналі стоять 1, і її визначник дорівнює 1. Крім того, і, отже, визначники матриць Грама рівні. Оскільки система векторів - ортогональна, то матриця Грама від цієї системи векторів - діагональна, і її визначник дорівнює добутку квадратів довжин векторів цієї системи. Таким чином, встановлено рівність. Розглянемо випадок k = 2. Тоді дорівнює довжині висоти паралелограма, опущеного на сторону (див. Рис. 1). Отже, добуток дорівнює площі паралелограма натягнутого на вектори, а визначник матриці Грама дорівнює квадрату площі цього паралелограма. Якщо k = 3, то вектор є ортогональної складової вектора до площини, натягнутої на вектори. Отже, визначник матриці Грама від трьох векторів дорівнює квадрату об'єму паралелепіпеда, натягнутого на вектори.

Оскільки всі міркування узагальнюються на довільну розмірність, то тим самим встановлено властивість.

Властивість 2.8 Визначник матриці Грама від системи векторів дорівнює 0, якщо система лінійно залежна, і квадрату об'єму k-мірного паралелепіпеда натягнутого на вектори інакше.

Покажемо тепер нерівність Адамара.

Доведення. Якщо система векторів лінійно залежна, то нерівність очевидно. Нехай ця система векторів лінійно незалежна. Застосуємо до неї процес ортогоналізації й побудуємо ортогональну систему векторів. Вектор є ортогональної складової вектора на лінійну оболонку векторів, і, отже, за нерівністю Бесселя (Теорема 2.2). Далі,, що й треба було довести.

Нерівність Адамара звертається в рівність, тільки якщо вихідна система векторів є ортогональною. В інших випадках нерівність - суворе.

Слідство 2.5 Чи справедливі нерівності і.

Доведення. В n-вимірному арифметичному просторі визначимо скалярний твір за формулою. Розглянемо систему векторів, утворену стовпцями матриці A. Матриця Грама від цієї системи векторів дорівнює і за нерівністю Адамара. Оскільки, то нерівність встановлено. Застосовуючи отримане нерівність до транспонованою матриці, виводимо.

Слідство 2.6 Нехай. Тоді.

Покладемо і, далі, по індукції. Матриця має порядок, її визначник дорівнює і всі її елементи рівні. Легко переконатися, що нерівність (Слідство 2.6) звертається на цій матриці в рівність. 2.6