Геометричні і фізичні додатки подвійних, потрійних, криволінійних і поверхневих інтеграла -

2. Фізичні додатки інтеграла

2.1Фізіческіе додатки подвійних інтегралів

Маса і статичні моменти пластини

Припустимо, що плоска пластина виготовлена ​​з неоднорідного матеріалу і займає область R в площині Oxy. Нехай щільність пластини в точці (x, y) в області R дорівнює. Тоді маса пластини виражається через подвійний інтеграл у вигляді

Статичний момент пластини щодо осі Ox визначається формулою

Аналогічно знаходиться статичний момент пластини відносно осі Oy.

Координати центру мас пластини. що займає область R в площині Oxy з щільністю, розподіленої за законом, описуються формулами

Для однорідної пластини з щільністю для всіх (x, y) в області R центр мас визначається тільки формою області і називається центроїдом.

Моменти інерції пластини

Момент інерції пластини відносно осі Ox виражається формулою

Аналогічно обчислюється момент інерції пластини відносно осі Oy.

Полярний момент інерції пластини дорівнює

Припустимо, що електричний заряд розподілений по області R в площині Oxy і його щільність розподілу задана функцією. Тоді повний заряд пластіниQ визначається виразом

Середнє значення функції

Наведемо також формулу дял розрахунку середнього значення деякої розподіленої величини. Нехай f (x, y) є безперервною функцією в замкнутій області R в площині Oxy. Середнє значення функції μ функції f (x, y) в області R визначається формулою

де - площа області інтегрування R.

Обчислити моменти інерції трикутника, обмеженого прямими (малюнок 2) і має щільність.

Знайдемо момент інерції пластини відносно осі Ox.

Аналогічно обчислимо момент інерції щодо осі Oy.

2.2 Фізичні додатки потрійних інтегралів

Маса і статичні моменти тіла

Нехай тіло займає обсяг U і його об'ємна щільність в точці M (x, y, z) задана функцією ρ (x, y, z). Тоді маса телаm обчислюється за допомогою потрійного інтеграла:

Статичні моменти тіла відносно координатних площин Oxy, Oxz, Oyz виражаються формулами

Координати центра ваги тіла обчислюються за формулами:

Якщо тіло є однорідним з щільністю ρ (x, y, z) = 1 для точок M (x, y, z) в області U. то центр ваги тіла залежить тільки від геометрії тіла і називається центроїдом.

Моменти інерції тіла

Моменти інерції тіла щодо координатних площин Oxy, Oxz, Oyz визначаються виразами

а моменти інерції тіла відносно координатних осей Ox, Oy, Oz обчислюються за формулами

Як видно, справедливі співвідношення

Моментом інерції тіла відносно початку координат називається інтеграл

Момент інерції відносно початку координат можна виразити через моменти інерції щодо координатних площин:

Даний тензор є симетричним, і, отже, його можна привести до діагонального вигляду при певному виборі осей Ox ', Oy', Oz '. Значення діагональних елементів (після приведення тензора до діагонального вигляду) називаються головними моментами інерції. а вказані напрями - власними векторами або головними осями інерції.

Якщо тіло обертається навколо осі, що не совпадаюшей з головною віссю інерції, то воно буде відчувати вібрації при високих швидкостях обертання. Тому, при конструюванні таких пристроїв необхідно, щоб вісь обертання збігалася з однією з головних осей інерції. Наприклад, при заміні шин автомобіля проводиться їх балансування: невеликі важки додаються до коліс, щоб забезпечити збіг осі обертання з головною віссю інерції і виключити вібрації.

Гравітаційний потенціал і сила тяжіння

Ньютоновим потенціалом тіла в точці P (x, y, z) називається інтеграл

де ρ (ξ, η, ζ) - щільність тіла, і.

Інтегрування виконується по всьому об'єму тіла. Знаючи потенціал, можна обчислити силу тяжіння матеріальної точки маси m і заданого розподіленого тіла з щільністю ρ (ξ, η, ζ) за формулою

де G - гравітаційна стала.

Знайти масу кулі радіуса R. щільність γ якого пропорційна квадрату відстані від центру.

За умовою, щільність γ задана співвідношенням γ = ar 2. де a - деяка постійна, r - відстань від центру. Масу кулі зручно обчислити в сферичних координатах:

2.3 Фізичні додатки криволінійних інтегралів

За допомогою криволінійних інтегралів обчислюються

Центр мас і моменти інерції кривої;

Робота при переміщенні тіла в силовому полі;

Магнітне поле навколо провідника зі струмом (Закон Ампера);

Електромагнітна індукція в замкнутому контурі при зміні магнітного потоку (Закон Фарадея).

Розглянемо ці програми більш докладно з прикладами.

Припустимо, що шматок дроту описується деякою просторової кривої C. Нехай маса розподілена вздовж цієї кривої з щільністю ρ (x, y, z). Тоді загальна маса кривої виражається через криволінійний інтеграл першого роду

Якщо крива C задана в параметричному вигляді за допомогою векторної функції, то її маса описується формулою

У випадку плоскої кривої, заданої в площині Oxy. маса визначається як

або в параметричної формі

Центр мас і моменти інерції кривої

Нехай знову шматок дроту описується деякою кривою C. а розподіл маси вздовж кривої задано безперервною функцією щільності ρ (x, y, z). Тоді координати центру мас кривої визначаються формулами

- так звані моменти першого порядку.

Моменти інерції відносно осей Ox, Oy і Oz визначаються формулами