Геометричне місце точок

Одним з методів вирішення завдань на побудову є метод геометричних місць.

Геометричним місцем точок називається фігура, яка складається з усіх точок площини, що володіють певним властивістю.

Наприклад, окружність можна визначити як геометричне місце точок, рівновіддалених від даної точки.

Важливе геометричне місце точок дає наступна теорема:

Геометричне місце точок, рівновіддалених від двох даних точок, є пряма, перпендикулярна до відрізка, що з'єднує ці точки, і проходить через його середину.

Доведення. Нехай А до В - дані точки, а - пряма, що проходить через середину Про відрізка АВ перпендикулярно до нього (рис. 105). Ми повинні довести, що:

1) кожна точка прямої а рівновіддалена від точок А і В;

2) кожна точка D площині, рівновіддалена від точок А до В, лежить на прямій а.

Те, що кожна точка С прямий а знаходиться на однаковій відстані від точок А і В, випливає з рівності трикутників АОС і ВОС. У цих трикутників кути при вершині Про прямі, сторона ОС загальна, а АТ = ОВ, так як О - середина відрізка АВ.

Покажемо тепер, що кожна точка D площині, рівновіддалена від точок А і В, лежить на прямій а. Розглянемо трикутник ADB. Він рівнобедрений, так як AD = BD. У ньому DO - медіана. По властивості рівнобедреного трикутника медіана, проведена до основи, є висотою. Значить, точка D лежить на прямій а. Теорема доведена.

А. В. Погорєлов, Геометрія для 7-11 класів, Підручник для загальноосвітніх установ

Якщо у вас є виправлення або пропозиції до даного уроку, напишіть нам.

Якщо ви хочете побачити інші коригування та побажання до уроків, дивіться тут - Освітній форум.