Гармонійний осцилятор - світ прекрасний
Коливання гармонічного осцилятора Гармонічним осциллятором називається фізичний об'єкт, еволюція якого згодом описується диференціальним рівнянням
.
де q - узагальнена координата гармонічного осцилятора, t - час. - характерна частота гармонічного осцилятора. Дві крапки над змінної означають другу похідну за часом. Величина q здійснює гармонічні коливання.
Завдання про гармонійний осцилятор відіграє центральну роль як у класичній, так і в квантовій фізиці.
Велика кількість фізичних систем поводяться як гармонійні осцилятори при малому відхиленні від рівноваги. До них відносяться математичний і фізичний маятники, коливання атомів в молекулах і твердих тілах, електричні коливальні контури і багато інших.
Енергія, функція Лагранжа і Гамільтона
Кінетична енергія гармонічного осцилятора задається виразом
.
Потенційна енергія гармонічного осцилятора задається виразом
.
Відповідно, вважаючи величину q узагальненої координатою, функція Лагранжа гармонійного осцлятора записується
.
.
вимушені коливання
Під дією зовнішньої періодичної сили з частотою, яка не обов'язково збігається з власною частотою гармонічного осцилятора, осцилятор здійснює гармонійні коливання, аплітуди яких визначається величиною зовнішньої сили і співвідношенням зовнішньої частоти і власної частоти осцилятора.
Вимушені коливання гармонічного осцилятора з частотою. 0 під дією сили з частотою? Опісуються рівнянням
.
де f 0 - амплітуда зовнішньої сили.
Приватне рішення цього рівняння, що описує вимушені коливання має вигляд
.
Гармонійний осцітор під дією зовнішньої сили здійснює гармонічні коливання з амплітудою. При амплітуда вимушених коливань прямує до нескінченності. Це явище називається резонансом.
Гармонійний осцилятор з загасанням
При обліку сил тертя або опору іншого роду, який призводить до дисипації енергії осцилятора і перетворенні її в тепло, рівняння гармонічного осцилятора змінюються. Зокрема дуже поширений випадок, коли сили опору пропорційні швидкості зміни величини q. Тоді рівняння гармонічного осцилятора набирає вигляду
.
Такі коливання загасають з часом за законом
.
Вимушені коливання гармонічного осцилятора із загасанням
При дії періодичної зовнішньої сили навіть при загасання для осцилятора встановлюються гармонійні коливання з амплітудою, яка залежить від прикладеної сили, співвідношення частот, а також від величини загасання.
Амплітуда вимушених коливань з урахуванням загасання визначається формулою
.
Це кінцева величина при всіх частотах зовнішньої сили.
Математичний маятник при невеликому початковому відхиленні від вертикалі здійснює гармонічні коливання з частотою
Коливальний контур гармонійним осцилятором, з частотою
.
де L - індуктивність, C - ємність.
Детальніше див. Квантовий осцилятор.
Спектр власних значень і власних функцій
Хвильові функції перших шести станів з квантовими числами від n = 0 до 5. На осі ординат відкладена узагальнена координата Гамільтоніан гармонічного осцилятора виходить заміною в функції Гамільтона імпульсу p на
.
Спектр гармонічного осцилятора знаходиться зі стаціонарного рівняння Шредінгера і задається формулою
.
Тут n - квантове число, пробігає значення від нуля до нескінченності. Енергетичні рівні гармонійного осцилятора еквідистантних. Характерною особливістю гармонічного осцилятора є те, що навіть в основному стані гармонійний осцилятор має відмінну від нуля енергію
.
Ця низька енергія називається енергією нульових коливань.
Власні функції гармонічного осцилятора, відповідних квантовому числу n задаються формулами
.
де. А H n (x) - поліноми Ерміта.
При парному n власні функції гармонічного осцилятора парні, при Непрану - непарні. Гамільтоніан гармонічного осцилятора комутує з оператором заміни x на - x (оператором парності), а тому має спільні власні функції з цим оператором.
Оператори народження та знищення
Якщо визначити оператор народження
і оператор знищення
.
.
Оператори народження та знищення задовольняють комутаційному співвідношенню:
.
Власні функції гармонічного осцилятора тоді мають вигляд
.
або, використовуючи нотацію кет і бра-векторів:
.
Всього дію оператора народження на гармонійне оператор в стані | n> призводить до переходу в стан | n +1>:
.
Дія оператора знищення на стан | n> призводить до переходу в стан | n-1>:
називають оператором числа частинок, оскільки для нього справедливо співвідношення.
Правила відбору
При випромінюванні або поглинанні фотона дозволеними переходами для гармонічного осцилятора є такі, при яких квантове число n змінюється на одиницю. З огляду на еквідістантність рівнів, це правило відбору призводить до того, що, незважаючи на нескінченне число рівнів, в спектрі оптичного поглинання або випромінювання гармонічного осцилятора є тільки одна лінія з частотою.
У реальних коливальних спектрах молекул можливі відхилення від цього правила, обумовлені ангармонічністю реального потенціалу міжатомної взаємодії, квадрупольними переходами і т.д.