Гармонійний осцилятор - студопедія

Систему, яка описується рівнянням. де. будемо називати гармонійним осцилятором. Рішення цього рівняння, як відомо, має вигляд:

Отже, гармонійний осцилятор являє собою систему, яка здійснює гармонійні коливання біля положення рівноваги.

Для гармонійного осцилятора справедливі всі результати, отримані раніше для гармонійного коливання.

Розглянемо і обговоримо ще додатково до них два питання.

Знайдемо імпульс гармонічного осцилятора. Продифференцируем вираз по t і, помноживши отриманий результат на масу осцилятора, отримаємо:

У кожному положенні, яке характеризується відхиленням "x", осцилятор має деяке значення "p". Щоб знайти "p" як функцію "x", потрібно виключити "t" з написаних для "p" і "x" рівнянь, Уявімо ці рівняння у вигляді:

Звівши ці вирази в квадрат і складаючи, отримаємо:

Намалюємо графік, що показує залежність "p" імпульсу гармонійного осцилятора від відхилення "x" (рис. 8.6). Координатну площину ( "p", "x") прийнято називати фазової площиною. а відповідний графік - фазової траєкторією. Фазова траєкторія гармонічного осцилятора є еліпс з півосями "A" і "A · m · w0". Кожна точка фазового траєкторії зображує стан осцилятора для деякого моменту часу (тобто його відхилення і імпульс). З плином часу точка, яка зображує стан, переміщається по фазової траєкторії, здійснюючи за період коливання повний обхід. Причому це переміщення відбувається за годинниковою стрілкою [а саме, якщо в певний момент часу t ¢ x = A, p = 0, то в наступний момент часу "x" буде зменшуватися, а "p" приймати всі зростаючі по модулю негативні значення, т . Е. рух образотворчої точки (тобто точки зображує стан) буде відбуватися за годинниковою стрілкою].

Знайдемо тепер площа еліпса. або

Тут. де n0 - власна частота осцилятора, що є для даного осцилятора величиною постійною.

Таким чином, повна енергія гармонічного осцилятора пропорційна площі еліпса, причому коефіцієнтом пропорційності служить власна частота осцилятора.

8.6. Малі коливання системи поблизу положення рівноваги.

Розглянемо довільну механічну систему, стан якої може бути задано за допомогою однієї величини "x". Величиною "x", що визначає положення системи може бути кут, відлічуваний від деякої площини або відстань, що відраховується вздовж заданої кривої.

Потенційна енергія такої системи буде функцією однієї змінної "x": Ep = Ep (x).

Виберемо початок відліку таким чином, щоб в положенні рівноваги x = 0. Тоді функція Ep (x) буде мати мінімум при x = 0.

Далі розкладемо функцію Ep (x) в ряд за ступенями "x", причому обмежимося випадком малих коливань, тому вищими ступенями "x" можна знехтувати. За формулою Маклорена:

(Через малість "x" іншими членами нехтуємо)

Так як Ep (x) при x = 0 має мінімум, то. а. Позначимо Ep (x) = b і. тоді.

Цей вислів ідентично з виразом для потенційної енергії системи, в якій діє квазіупругая сила (константу "b" можна покласти рівною 0).

Сила, що діє на систему, може бути визначена за формулою:. Отримано з урахуванням, що робота відбувається за рахунок зменшення потенційної енергії.

Отже, потенційна енергія системи при малих відхиленнях від положення рівноваги виявляється квадратичною функцією зсуву, а сила, що діє на систему, має вигляд квазіпружної сили. Отже, при малих відхиленнях від положення рівноваги будь-яка механічна система буде здійснювати коливання, близькі до гармонійних.

8.7. Математичний маятник.

ВИЗНАЧЕННЯ: математичним маятником будемо називати ідеалізовану систему, що складається з невагомою і нерастяжимой нитки, на якій підвішена маса, зосереджена в одній точці.

Відхилення маятника від положення рівноваги буде характеризуватися кутом j (рис. 8.7). При відхиленні маятника від положення рівноваги виникає обертальний момент. він має такий напрямок, що прагне повернути маятник в положення рівноваги, тому моменту M і кутовому зсуві j потрібно приписати різні знаки.

Напишемо тепер для маятника рівняння динаміки обертального руху (враховуючи, що b - кутове прискорення одно. А).

Розглянемо малі коливання () і введемо величину. тоді отримаємо

Рішенням цього рівняння буде функція

Отже, при малих коливаннях кутове відхилення математичного маятника змінюється за гармонійним законом.

Як випливає з формули. частота коливань математичного маятника залежить лише від його довжини і величини "g" і не залежить від маси маятника. З огляду на, що отримаємо