функції кореня
Коренем n-ступеня з невід'ємного числа a є таке невід'ємне число, при зведенні в n-ступінь якого виходить число a.
Коренем непарній n-ступеня з негативного числа a називається таке негативне число, при зведенні в n-ступінь якого виходить число a.
Де n - це показник кореня і a - підкореневе число.
Таким чином, витягти корінь будь-якого ступеня (від другої і далі) можна з будь-якого невід'ємного числа, а з негативного числа витягується тільки корінь непарного степеня.
На [0; + ∞) можна поставити кожному числу х у відповідність єдине число корінь n-ступеня з x при будь-якому значенні n.
Тобто це означає, що на безлічі [0; + ∞) можна говорити про функції кореня:
Тепер визначимо властивості даної функції і побудуємо її графік.
Основні властивості функції:
Проміжок [0; + ∞) - є областю визначення.
Так як невід'ємне число є коренем n-ступеня з невід'ємного числа, значить проміжок [0; + ∞) буде областю значення функції.
Оскільки симетричним безліччю не є область визначення функції, тому дана функція не є ні непарною, ні парною.
Операція з вилучення кореня вводилася як зворотна операція зведення в відповідну ступінь.
Значить можна стверджувати, що:
Тепер можна побудувати графік функції кореня.
Користуючись графіком, можна записати, що залишилися властивості функції.
На проміжку [0; + ∞) функція зростає.
Зверху функція не обмежена, але вона обмежена знизу, наприклад, прямий у, яка = -0,5.
На всій області визначення функція опукла вгору.
У функції найменшим значенням буде 0, а найбільшого значення вона не має.
Якщо в кожній з точок певного проміжку функція диференційована, то це означає, що на даному проміжку вона неперервна.
У будь-якій точці проміжку [0; + ∞) існує ця похідна, винятком є лише точка 0. Оскільки в будь-якій точці проміжку (0; + ∞) функція має похідну, значить на проміжку (0; + ∞) функція диференційована.
Розглянемо кілька прикладів графіків функції кореня.
Ці приклади стосуються функції, у якій у одно корінь n-ступеня з x, тільки при невід'ємних значеннях аргументу.
Але якщо n є непарним числом, то для негативних х також має сенс вираз корінь n-ступеня з x. А значить, говорити можна про функції:
Запишемо властивості даної функції.
Проміжок (- ∞; + ∞) є областю визначення функції.
Проміжок (- ∞; + ∞) буде областю значень.
Область визначення функції є симетричним безліччю, значить цю функцію можна досліджувати на парність:
Таким чином отримуємо, що функція буде непарної при непарному n.
Побудуємо графік функції.
Додамо до цієї гілки ще гілка, яка симетрична їй щодо початку координат, для цього скористаємося властивістю непарності функції кореня.
- Одержаний графік дозволяє легко записати залишилися властивості функції.
- На всій області визначення функція зростає.
- Ні зверху, ні знизу функція не обмежена.
- У функції немає найбільшого і найменшого значення.
- На всій області визначення функція неперервна.
- На проміжку (- ∞; 0) функція опукла вниз, а на проміжку (0; + ∞) вона опукла вгору.
- На всій області визначення функція диференційована, за винятком точки 0.
Ще кілька прикладів графіків функції кореня.
