Еліпс, гіпербола і парабола з осями симетрії паралельними осях координат

Загальне рівняння кривої II порядку.

Якщо в рівняннях кривих: еліпса, гіперболи і параболи, з осями симетрії паралельними осях координат розкрити дужки, то всі вони можуть бути приведені до пятичленной рівняння 2-го порядку, яке має вигляд:

І називається загальним рівнянням кривої 2-го порядку.

Проаналізувавши відмінність один від одного рівнянь виду (1) для еліпса, гіперболи і параболи, можна побачити, що в разі еліпса - знаки коефіцієнтів AіCодінакови, в разі гіперболи - знаки коеффіціентовAіCразлічни, і в разі параболи один з квадратів відсутня, що тягне за собою рівність нулю відповідного коеффіціентаAіліC (одновременноAіCнулю рівні бути не можуть, інакше виходить рівняння 1-го порядку, тобто рівняння прямої).

Таким чином, твір ACопределяет криву, рівняння якої має вигляд (1).

Для еліпса AC> 0;

Для гіперболи AC<0;

Для параболи AC = 0;

Розглянемо зворотну задачу.

У декартовій прямокутній системі координат дано рівняння:

Для побудови кривої і повного уявлення про те, як вона розташована на площині, необхідно привести рівняння (1) до канонічного вигляду, тобто виділити повні квадрати в цьому рівнянні.

Наприклад, наведемо рівняння до канонічного виду.

У декартовій прямокутній системі координат рівняння 2-го порядку:

, може відповідати наступним семи типам ліній другого порядку. еліпси, гіперболи, параболи, пари пересічних прямих, точки, пари паралельних прямих, пари однакових прямих.

Яке геометричне місце точок задано рівнянням

Так як права частина рівняння не позитивний, то і

, отже, це рівняння рівносильне системі:

- це безліч точок еліпса, у яких

, тобто нижня половина еліпса.

За даним рівнянням визначте тип кривої. Наведіть рівняння до канонічного виду, побудуйте криву на площині XOY. Знайдіть координати фокусів. Складіть рівняння асимптот для гіперболи:

Див. Таблицю (1). Дано рівняння кривої гіперболічного типу.

Наводимо рівняння до канонічного виду.