Електронна бібліотека алгебра і теорія чисел

4.4. Метод Жордана-Гаусса

Метод Жордана-Гаусса заснований на елементарних перетвореннях (п.3.2) рядків розширеної матриці

В результаті кожного з елементарних перетворень розширена матриця змінюється, однак системи лінійних рівнянь, що відповідають отриманим матрицями, еквівалентні вихідній системі лінійних рівнянь.

Нехай дана система m лінійних рівнянь з n невідомими. Застосовуючи елементарні перетворення, побудуємо еквівалентну систему спеціального виду. Для цього виберемо в якості першого рівнянь одне з тих рівнянь системи, де коефіцієнт при х1 відмінний від нуля. Не порушуючи спільності, припустимо, що. Тоді першим рівнянням системи буде рівняння

Помножимо перше рівняння на. Потім помножимо це ж рівняння на. і додамо його почленно до рівнянь системи з номерами i = 2,3, ..., m. Після цього перетворення в рівняннях з номерами i> 1 буде виключено невідоме х1. Перший крок методу Жордана-Гаусса закінчений.

Може трапитися, що на першому етапі разом з невідомими х1 будуть виключені невідомими. але знайдеться хоча б одне рівняння, в якому збережеться невідоме. Одне з таких рівнянь приймемо в якості другого рівняння системи. В цьому випадку розширена матриця. відповідна отриманій системі, має вигляд:

Використовуємо друге рівняння для виключення невідомого з усіх рівнянь, крім другого. Після другого кроку методу Жордана-Гаусса отримаємо розширену матрицю

Продовжуючи процес, після r кроків отримаємо матрицю. що містить r одиничних стовпців на місці перших n стовпців матриці А (r - ранг матриці А системи).

При цьому можливі три випадки:

1. Якщо. то матриця перетворюється в матрицю

Система має єдине рішення:.

Системи лінійних рівнянь (4.4.6) відповідає розширена матриця. Застосовуючи до матриці алгоритм методу Жордана-Гаусса, отримаємо матрицю. Покажемо, що. Розширеної матриці відповідає матричне рівняння. яке має єдине рішення Х = В. Матриця отримана з матриці методом Жордана-Гаусса. Тому системи лінійних рівнянь, що відповідають матрицями і. рівносильні, тобто мають одне і те ж рішення. Звідси слідує що . отже,.

Таким чином, щоб для невироджених матриці А обчислити обернену матрицю. необхідно скласти матрицю. Методом Жордана-Гаусса в матриці перетворити матрицю А до виду одиничної матриці Є. тоді на місці одиничної матриці Е отримаємо зворотну матрицю.

Приклад. Обчислити зворотну матрицю для матриці

Рішення. складемо матрицю

На ітерації 1, вважаючи. отримаємо

На ітерації 2, вважаючи. отримаємо