Єгипетський трикутник складанням паперу, математика, яка мені подобається
Якщо з'єднати вершини квадрата з центрами сторін, що не примикають до цих вершин (всього вісім відрізків), то вийде багатокутник в формі зірки. У цьому багатокутнику можна розгледіти єгипетський трикутник, тобто відомий прямокутний трикутник з співвідношеннями сторін 3: 4: 5.
З малюнка зліва видно, як отримати такий трикутник, складаючи папір.
Насправді таких трикутників всього 32, по 8 кожного типу і.
Доказ "без слів" наведено на малюнку справа. З малюнка слід справедливість затвердження для трикутника. Для інших трикутників доказ в точності таке ж.
А ось ще один спосіб отримати єгипетський трикутник, складаючи папір.
Прямокутний аркуш паперу складають так, що один кут потрапляє в середину короткої сторони прямокутника. Трикутники I і II рівні. Відомо, що довжина короткої сторони аркуша дорівнює 8. Знайдіть довжину його більшої сторони.
Позначимо через і довжини відрізків, як показано на малюнку:
Менша сторона прямокутника дорівнює, так що його велика сторона дорівнює.
А ось прямокутні трикутники I і II цікаві самі по собі. У кожного і них один катет дорівнює, а сума другого катета і гіпотенузи дорівнює. По теоремі пифагора маємо
звідки. і, отримуємо відомий єгипетський трикутник зі сторонами і.
Якщо взяти прямокутник розмірами, то отримати такий трикутник буде дуже легко. Спочатку потрібно скласти прямокутник так, щоб утворився квадрат, потім розділити згинанням цей квадрат на 4 квадрати, так що вийде прямокутник з відносними розмірами:
Поколінням укладачів "олімпіадних завдань", укладачам підручників "із суворим викладом елементарної геометрії" вдалося викреслити з геометрії головне - призначення предмета. Та так добре що і самі громадяни укладачі олімпіадних завдань вже і не розуміють для чого ж ПРИЗНАЧЕНИЙ "єгипетський трикутник".
А призначений він как не странно для побудови прямого кута. Але про цей факт не можливо прочитати в підручнику геометрії! І про цей найпростіший спосіб побудови прямого кута на місцевості ні знають ні дачники, що прокладають межу, між ділянками, ні доценти з кандидатами, ні інженери. Ну не вчили їх такому факту ...
Тепер про запропонований "вирішенні" завдання. Рішення догло і незрозумілою.
Правильне рішення таке:
Так як аркуш паперу передбачається квадратним то для складання з паперу заданого трикутника досить на одній стороні треба відзначити 1/4 довжини листа і згорнути лист від цієї позначки до вершини квадрата на протилежному боці. Трикутник, який вийде, і буде шуканим. Усе.
Тепер розповім чому так. Так як сторони трикутника відносяться ка 3: 4: 5 то косинус кута протилежний найбільшій стороні стороні дорівнює 0, а значить трикутник - прямокутний. Прямий кут у нас вже є - це кут квадрата, використовуємо його. Позначимо його через А.
Тепер будуємо катети шуканого трикутника. Для якогось спрощення позначимо через L довжину сторони квадрата. Найпростіший спосіб прийняти що більший катет дорівнює довжині сторони квадрата тобто L. Тоді інший катет дорівнює 3L / 4. Залишилося відкласти 3L / 4 від кута А і задача вирішена.
Для відкладання складемо квадрат по стороні де ми намагаємося відкласти 3L / 4, один раз, а потім отриманий прямокутник складемо по короткій стороні ще раз. Розгорнемо складену папір. У нас є позначки від згинів від точки А на відстані L / 4, 2L / 4, 3L / 4.
Беремо останню відмітку і згинаємо листок від неї до протилежної сторони. Усе.
У модифікації завдання, де "нічого згинати не можна", а потрібно лише "побудувати за допомогою циркуля і лінійки шуканий сабж" змінюється тільки алгоритм отримання 3L / 4.