E (число)
[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, ...]
(Ця безперервна дріб не може бути періодична. Записана в лінійної нотації)
Першу 1000 знаків після коми числа e [1]
Площа області під графіком y = 1 / x на інтервалі 1 ≤ x ≤ e дорівнює 1
e - це деяке число a. таке, що значення похідної (тангенс нахилу дотичній) показовою функції f (x) = a x (синя крива) в точці x = 0 дорівнює 1 (червона лінія). Для порівняння показані функція 2 x (пунктирна крива) і 4 x (штрихова крива); тангенс нахилу дотичних для яких відмінний від 1
Максимум функції досягається при.
Оскільки функція експоненти інтегрується і диференціюється «в саму себе», логарифми саме по підставі e приймаються як натуральні.
Способи визначення [ред]
Число e може бути визначено декількома способами.
- Через межа: (другий чудовий межа). (Формула Стірлінга).
- Як сума ряду. або.
- Як однина a. для якого виконується
- Як єдине позитивне число a. для якого вірно
Властивості [ред]
Дана властивість грає важливу роль в рішенні диференціальних рівнянь. Так, наприклад, єдиним рішенням диференціального рівняння є функція, де c - довільна константа.- Число e ірраціонально і навіть трансцендентне. Його трансцендентність була доведена тільки в 1873 році Шарль Ерміта. Передбачається, що e - нормальне число. тобто ймовірність появи різних цифр в його записи однакова.
Припустимо, що раціонально. Тоді, де - ціле, а - натуральне.
Помноживши обидві частини рівняння на, отримуємо
Переносимо в ліву частину:
Всі складові правої частини цілі, отже, і сума в лівій частині - ціла. Але ця сума і позитивна, значить, вона не менше 1.
З іншого боку,
Підсумовуючи геометричну прогресію в правій частині, отримуємо:
- Число e є обчислюваних (а значить, і арифметичним) числом.
- , см. формула Ейлера. зокрема
- Ще формули, що зв'язують числа e і π:
- т. н. «Інтеграл Пуассона» або «інтеграл Гаусса»
- межа
- Для будь-якого комплексного числа z вірні такі рівності:
- Число e розкладається в нескінченну ланцюгову дріб наступним чином:, тобто
- Або еквівалентним йому:
- Для швидкого обчислення великої кількості знаків зручніше використовувати інше розкладання:
- Подання Каталана.
- Подання через твір.
- Через числа Белла
- Міра ірраціональності числа e дорівнює 2 (що є найменше можливе значення для ірраціональних чисел). [2]
Історія [ред]
Саму ж константу вперше обчислив швейцарський математик Бернуллі в результаті виконання завдання про граничну величину процентного доходу. Він виявив, що якщо початкова сума $ 1 і нараховується 100% річних один раз в кінці року, то підсумкова сума буде $ 2. Але якщо ті ж самі відсотки нараховувати два рази в рік, то $ 1 множиться на 1.5 двічі, отримуючи $ 1.00 × 1.5² = $ 2.25. Нарахування відсотків раз на квартал призводить до $ 1.00 × 1.25 4 = $ 2.44140625, і так далі. Бернуллі показав, що якщо частоту нарахування відсотків нескінченно збільшувати, то процентний дохід в разі складного відсотка має межу. і ця межа дорівнює 2,71828 ...
$ 1.00 × (1 + 1/12) 12 = $ 2.613035 ...
$ 1.00 × (1 + 1/365) 365 = $ 2.714568 ...
Таким чином, константа e означає максимально можливу річний прибуток при 100% річних і максимальній частоті капіталізації відсотків [3].
Перше відоме використання цієї константи, де вона позначалася літерою b. зустрічається в листах Лейбніца Гюйгенсу. 1690 -1691 роки.
Чому була обрана саме буква e. точно невідомо. Можливо, це пов'язано з тим, що з неї починається слово exponential ( «показовий», «експонентний»). Інше припущення полягає в тому, що букви a. b. c і d вже досить широко використовувалися в інших цілях, і e була першою «вільної» буквою. Також примітно, що буква e є першою в прізвища Ейлер (Euler).
Наближення [ред]
Відкриті проблеми [ред]
- Невідомо, чи є число елементом кільця періодів.
- Невідомо, чи є числа і алгебраїчно незалежними.
- Невідома міра ірраціональності ні для одного з наступних чисел: Ні для одного з них не відомо навіть, чи є воно раціональним числом, алгебраїчним ірраціональним або трансцендентним числом. [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12]
- Невідомо, чи є перше число Скьюза цілим числом.