дослідження функцій

Дослідження функцій. У цій статті ми поговоримо про завдання, в яких розглядаються функції і в умови стоять питання пов'язані з їх дослідженням. Розглянемо основні теоретичні моменти, які необхідно знати і розуміти для їх вирішення.

Це ціла група завдань входять до ЄДІ з математики. Зазвичай ставиться питання про знаходження точок максимуму (мінімуму) або визначення Найбільший (найменшого) значення функції на заданому інтервалі. розглядаються:

- Статечні і ірраціональні функції.

- Раціональні функції.

- Дослідження творів і приватних.

- Логарифмічні функції.

- Тригонометричні функції.

Якщо ви зрозуміли теорію меж, поняття похідної, властивості похідної для дослідження графіків функцій та її геометричний зміст. то такі завдання ніякого утруднення у вас не викличуть і ви вирішите їх з легкістю.

Інформація нижче - це теоретичні моменти, розуміння яких дозволить усвідомити, як вирішувати подібні завдання. Постараюся викласти їх саме так, щоб навіть той, хто цю тему пропустив або вивчив слабо, зміг без особливих труднощів вирішувати подібні завдання.

У завданнях даної групи, як уже сказано, потрібно знайти або точку мінімуму (максимуму) функції, або найбільше (найменше) значення функції на інтервалі.

Точки мінімуму, максимуму. Властивості похідної.

Розглянемо графік функції:

Точка А - це точка максимуму, на інтервалі від Про до А функція зростає, на інтервалі від А до В убуває.

Точка В - це точка мінімуму, на інтервалі від А до В функція спадає, на інтервалі від В до С зростає.

В даних точках (А і В) похідна звертається в нуль (дорівнює нулю).

Дотичні в цих точках паралельні осі ox.

Додам, що точки, в яких функція змінює свою поведінку з зростання на спадання (і навпаки, з убування на зростання), називаються екстремумами.

1. Похідна на інтервалах зростання має позитивний знак (п ри підстановці значення з інтервалу в похідну виходить позитивне число).

Значить, якщо похідна в певній точці з деякого інтервалу має позитивне значення, то графік функції на цьому інтервалі зростає.

2. На інтервалах убування похідна має негативний знак (при підстановці значення з інтервалу в вираз похідної виходить негативне число).

Значить, якщо похідна в певній точці з деякого інтервалу має від'ємне значення, то графік функції на цьому інтервалі убуває.

Це треба чітко усвідомити.

Таким чином, обчисливши похідну і прирівнявши її до нуля, можна знайти точки, які розбивають числову вісь на інтервали. На кожному з цих інтервалів можна визначити знак похідної і далі зробити висновок про її зростанні або убування.

* Окремо слід сказати про точках, в яких проводиться не існує. Наприклад, можемо отримати похідну, знаменник якої при певному х звертається в нуль. Зрозуміло, що при такому х похідна не існує. Так ось, цю точку також необхідно враховувати при визначення вартості інтервалів зростання (зменшення).

Вищевикладені властивості необхідні для дослідження поведінки функції на зростання та спадання.

Що ще необхідно знати для вирішення обговорених завдань: таблицю похідних і правила диференціювання. Без цього ніяк. Це базові знання, в темі похідною. Похідні елементарних функцій ви повинні знати на відмінно.

Обчислюючи похідну складної функції f (g (x)), уявіть, що функція g (x) це змінна і далі обчислюйте похідну f '(g (x)) з табличних формулах як звичайну похідну від змінної. Потім отриманий результат помножте на похідну функції g (x).

дослідження функцій

Задачі на знаходження точок максимуму і мінімуму

Алгоритм знаходження точок максимуму (мінімуму) функції:

2. Знаходимо нулі похідної (прирівнянням похідну до нуля f '(x) = 0 і вирішуємо отримане рівняння). Також знаходимо точки в яких похідна не існує (зокрема це стосується дрібно-раціональних функцій).

3. Відзначаємо отримані значення на числовій прямій і визначаємо знаки похідної на цих інтервалах шляхом підстановки значень з інтервалів в вираз похідної.

4. Далі робимо висновок.

Висновок буде один з двох:

1. Точка максимуму це точка, в якій похідна змінює значення з позитивного на негативне.

2. Точка мінімуму це точка, в якій похідна змінює значення з негативного на позитивне.

Завдання на знаходження найбільшого або найменшого значення

функції на інтервалі.

В іншому типі завдань потрібно знайти найбільше або найменше значення функції на заданому інтервалі.

Алгоритм знаходження найбільшого (найменшого) значення функції:

1. Визначаємо, чи є точки максимуму (мінімуму). Для цього знаходимо похідну f '(x). потім вирішуємо f '(x) = 0 (пункти 1 і 2 з попереднього алгоритму).

2. Визначаємо, чи належать отримані точки заданому інтервалу і записуємо лежать в його межах.

3. Підставляємо в вихідну функцію (не в похідну, а в дану в умові) кордону даного інтервалу і точки (максимуму-мінімуму), що лежать в межах інтервалу (п.2).

4. Обчислюємо значення функції.

5. Вибираємо з отриманих найбільше (найменше) значення, в залежності від того, яке питання було поставлено в завданню і далі записуємо відповідь.

Питання: для чого в задачах на знаходження найбільшого (найменшого) значення функції необхідно шукати точки максимуму (мінімуму)?

Відповідь найкраще це проілюструвати, подивіться схематичне зображення графіків, що задаються функцій:

У випадках 1 і 2 досить підставити межі інтервалу, щоб визначити найбільше або найменше значення функції. У випадках 3 і 4 необхідно знайти нулі функції (точки максимуму-мінімуму). Якщо ми підставимо межі інтервалу (не знаходячи нулі функції), то отримаємо невірну відповідь, це видно по графікам.

І вся справа в тому, що ми по заданій функції не можемо побачити як виглядає графік на інтервалі (чи має він максимум або мінімум в межах інтервалу). Тому знаходите нулі функції обов'язково.

Якщо рівняння f '(x) = 0 не матиме рішення, це означає, що точок максимуму-мінімуму немає (рисунок 1,2), і для знаходження поставленого завдання в цю функцію підставляємо тільки межі інтервалу.

Ще один важливий момент. Пам'ятайте, що відповіддю має бути ціле число або кінцева десяткова дріб. При обчисленні найбільшого і найменшого значення функції ви будете отримувати вираження з числом е і Пі, а також вираження з коренем. Запам'ятайте, що до кінця вам їх обчислювати не потрібно, і так зрозуміло, що результат таких виразів відповіддю бути не буде. Якщо виникне бажання обчислити таке значення, то зробіть це (числа: е ≈ 2,71 Пі ≈ 3,14).

Багато написав, заплутав напевно? За конкретних прикладів ви побачите, що все просто.

Далі хочу відкрити вам маленький секрет. Справа в тому, що багато завдань можна вирішити без знання властивостей похідної і навіть без правил диференціювання. Про ці нюанси я вам обов'язково розповім і покажу як це робиться? НЕ пропустіть!

Але тоді навіщо ж я взагалі виклав теорію і ще сказав, що її потрібно знати обов'язково. Все вірно - знати треба. Якщо її зрозумієте, тоді ніяка завдання в цій темі в глухий кут вас не поставить.

Ті «хитрощі», про які ви дізнаєтеся, допоможуть вам при вирішенні конкретних (деяких) прототипів завдань. До ак додатковий інструмент ці прийоми використовувати, звичайно, зручно. Завдання можна вирішити в 2-3 рази швидше і заощадити час на рішення частини С.

З повагою, Олександр Крутицький.