Дослідження функції та побудова графіка - студопедія

Дослідження проведемо з такого плану:

1. Область визначення функції (О.Д.З.)

2. Точки перетину графіка функції з осями координат:

3. Досліджуємо функцію на парність або непарність.

Якщо область визначення функції симетрична відносно х = 0 і f (-x) = f (x). то функція парна і її графік симетричний відносно осі OY.

Якщо область визначення функції симетрична відносно х = 0 і f (-x) = - f (x). то функція непарна і її графік симетричний відносно початку координат.

Якщо не виконані умови парності і нечесності, то функція загального вигляду, її подальше дослідження проводимо на всій осі О.Д.З.

4. Досліджуємо функцію на неперервність, шукаємо точки розриву, якщо вони є.

Асимптотой називається пряма, відстань від якої до змінної точки графіка прагне до нуля при видаленні цієї точки за графіком від початку координат.

1) якщо х0 - є точка розриву функції II роду, то пряма х = х0 є вертикальна асимптота графіка функції;

2) похилі асимптоти графіка мають вигляд y = kx + b. де

і ці межі кінцеві.

Якщо хоча б один межа не існує або дорівнює нескінченності, то графік функції не має похилих асимптот.

2) шукаємо критичні точки другого роду - точки, в яких друга похідна дорівнює нулю або не існує;

3) досліджуємо знак другої похідної ліворуч і праворуч від критичних точок другого роду:

якщо функція двічі диференційована на і. то графік функції на цьому інтервалі увігнутий (опуклий).

Точка графіка неперервної функції, яка відокремлює опуклу частину від увігнутої, називається точкою перегину графіка функції.

4) шукаємо точки перегину графіка функції:

якщо при переході через х0 друга похідна змінює свій знак, то в точці з абсцисою х0 графік функції має точку перегину.

8. При необхідності шукаємо кілька додаткових точок.

9. Будуємо графік функції.

Приклади (див. Завдання VI)

I. Дослідити функцію і побудувати її графік:.

1) при х, так як D = 1-4 = -3<0.

2) знайдемо точки перетину графіка з осями координат:

3) - функція загального вигляду;

4) функція неперервна на. точок розриву немає;

5) вертикальних асимптот немає.

Отже, y = 0 - горизонтальна асимптота;

6) досліджуємо функцію на зростання і спадання.