Дивергенція векторного поля

Потік напруженості електричного поля. Теорема Гаусса в інтегральної формі

4. Дивергенція векторного поля. Теорема Гаусса в диференціальної формі

Безпідставного векторному полю (тобто деякої векторної функції. Заданою в точках (x, y, z) деякої області простору) можна зіставити скалярную функцію, звану дивергенцией поля F. Ця функція позначається символом «div» і визначається співвідношенням

Фізичний сенс дивергенції випливає з формули, що доводиться в курсі вищої математики:

При граничному переході обсяг V і його поверхню S стягуються в точку спостереження, в якій обчислюється дивергенція. Згідно (1.4.1), потік напруженості E через будь-яку нескінченно малу сферу, всередині якої немає зарядів, - тотожний нуль. Тому з (1.4.2) випливає, що в точках з нульовою щільністю зарядів (r = 0) дивергенція E дорівнює нулю. Розглянувши потік через малу сферу V навколо точки, в якій дивергенція напруженості не дорівнює нулю, можна показати за допомогою (1.4.1) і (1.4.2). що в такій точці об'ємний заряд є, тому точки, в яких дивергенція напруженості відмінна від нуля, є джерелами силових ліній.

В курсі математики доводиться теорема Остроградського-Гаусса (була встановлена ​​К. Гауссом в 1844 незалежно від М.В. Остроградського, який довів її в 1839):

Тут V - довільний об'єм, обмежений поверхнею S. Застосуємо теорему (1.4.3) до потоку електростатичного поля. З урахуванням (1.4.1) отримаємо:

З рівності інтегралів через довільність обсягу V слід рівність подинтегральних виразів, тобто теорема Гаусса в диференціальної формі (А. Пуассон 1850 г.):

З тих областей простору, в яких дивергенція Е позитивна, силові лінії Е виходять (r> 0), в тих областях, де divE <0 силовые линии заканчиваются (r<0), а через те области, где divE = 0 силовые линии проходят, но не рождаются и не исчезают, так как в этих областях r=0 (зарядов нет).

Циркуляція і ротор векторного поля. Градієнт скалярної функції

Циркуляція СL довільного векторного поля F (x, y, z) по замкнутому контуру L визначається наступним співвідношенням:

де Fl - проекція вектора F на напрям елемента контуру dl (див. рис. 1.5.1).

Ротор - це ще одне поняття з математичної теорії векторних полів. У декартовій системі координат (x, y, z) ротор F (позначення «rotF») визначається як вектор, компоненти якого рівні певним комбінаціям просторових похідних вектора F, саме:

Фізичний сенс ротора випливає з рівності, що доводиться в курсі математики:

Тут n - нормаль до майданчика S, L - контур, що обмежує цю майданчики, який при цьому граничний перехід стягується в точку спостереження. Якщо ротор векторного поля в деякій точці спостереження не дорівнює нулю, то в будь-який досить малій околиці цієї точки силові лінії поля утворюють мікроскопічні замкнуті контура навколо неї ( «завихрюватися»). Тому область, де ротор векторного поля різниться від нуля, називають вихором поля, а саме поле, ротор якого відмінний від нуля називається вихровим. Швидкість руху потоків рідини або газу, що розглядається як функція координат, є наочним прикладом векторного поля. Турбулентності в рідині або газі утворюються саме навколо точок, в яких різниться від нуля ротор швидкості потоку рідини (газу). Зображення поля за допомогою силових ліній в області простору, де ротор відмінний від нуля (точно так само, як і в точках з ненульовий дивергенцией), неможливо.

Як буде видно з подальшого, циркуляція і ротор електростатичного поля, тотожно рівні нулю у всьому просторі. Тому електростатичне поле - це відносно просте силове поле. Такими ж властивостями володіє і гравітаційне поле.

Поняття градієнта вже вводилося в курсі механіки. Нагадаємо його. Градієнт функції f (x, y, z), залежною від координат - це вектор, декартові компоненти якого є просторовими похідними функції f:

Нехай. Можна показати, що тоді необхідно і достатньо, щоб ротор дорівнював нулю:

Потенційність електростатичного поля. електричний потенціал

Робота поля по перенесенню пробного q заряду з деякою точки 1 в деяку точку 2 не залежить від траєкторії його руху і визначається для даного поля і даного заряду тільки координатами цих точок. Для випадку, коли джерелом поля є точковий заряд Q (рис. 1.6.1) це неважко обгрунтувати наступним чином. Робота на елементарному відрізку траєкторії, за відомим з механіки визначенням, є:. Розкриваючи скалярний добуток векторів через кут a між ними, отримуємо

Підсумовуючи (інтегруючи) все елементарні роботи, знаходимо

що й потрібно було довести. Робота визначається тільки відстанями від джерела до початкової і кінцевої точки траєкторії. Таке силове поле в механіці ми називали потенційним.

З принципу суперпозиції слід потенційність електростатичного поля, створеного будь-якою системою зарядів. З (1.6.2) і принципу суперпозиції слід також, що робота електростатичних сил над зарядом, що переміщуються по замкнутому контуру, дорівнює 0:

Таким чином, для будь-якого контуру в електростатичному полі циркуляція напруженості - тотожний нуль. Відповідно до твердження (1.5.6) напруженість електростатичного поля (з точністю до знака) може бути витлумачена як градієнт деякої функції координат, званої потенціалом електростатичного поля:

Використовуючи визначення напруженості електростатичного поля (1.2.1) і формулу зв'язку між силою F і потенційною енергією W, відому з курсу механіки

з (1.6.4) отримаємо, що потенціал поля в даній точці спостереження чисельно дорівнює потенційної енергії пробного заряду q, що розміщується в дану точку, віднесеної до величини цього заряду:

Потенційна енергія електростатичного поля, як і енергія поля сил тяжіння, визначається з точністю до довільної сталої, яку можна зафіксувати вибором точки нульового рівня для W. Як правило, потенційна енергія електростатичного поля покладається рівною нулю в нескінченно віддаленій точці.

З формули (1.6.4) шляхом інтегрування неважко отримати формулу, яка б пов'язала потенціал з напруженістю:

Інтегрування в (1.6.7) можна проводить по будь-якій кривій з'єднує точки 1 і 2.

Розглянемо в просторі, де є електростатичне поле, уявну поверхню, перпендикулярну силовим лініям. При обчисленні інтеграла (1.6.7) по будь-якій траєкторії 1-2, що лежить на цій поверхні, дотична Et компонента Е дорівнює нулю. Отже, для будь-яких двох точок 1 і 2 цієї поверхні права частина (1.6.7) дорівнює нулю, потенціали j (r1) і j (r2) однакові. Поверхня, у всіх точках якої потенціал має однакову величину, називається еквіпотенційної. Таким чином, поверхня перпендикулярна до силових ліній є еквіпотенційної.

У загальному випадку різниця потенціалів між точками 1 і 2 дорівнює різниці потенціалів еквіпотенційних поверхонь, яким належать ці точки. Останню можна знайти, проводячи інтегрування у формулі (1.6.7), по силової лінії, що з'єднує точки 1 ¢ і 2 ¢ цих еквіпотенційних поверхонь. При цьому фактично під інтегралом буде модуль Е електричної напруженості, тому що на силовий лінії. На закінчення для потенціалу поля точкового заряду Q наведемо формулу, яка випливає з порівняння формул (1.6.2) і (1.6.6) і відомого з курсу механіки співвідношення між роботою A12 потенційних сил на ділянці 1-2 траєкторії частинки і потенційною енергією частинки в початку W1 і в кінці W2 цієї ділянки:

В даному випадку часткою є пробний заряд q. Формула для потенціалу точки, віддаленої від точкового джерела Q на відстань r. має вигляд

Електричне поле - особлива форма поля, існуюча навколо тел або частинок, що володіють електричним зарядом, а також у вільному вигляді в електромагнітних хвилях. Електричне поле безпосередньо невидимо, але може спостерігатися по його дії і за допомогою приладів. Основним дією електричного поля є прискорення тел або частинок, що володіють електричним зарядом.

Електричне поле можна розглядати як математичну модель, що описує значення величини напруженості електричного поля в даній точці простору. Дуглас Джанкола писав так: "Слід підкреслити, що поле не є якоюсь різновидом речовини; правильніше сказати, це надзвичайно корисна концепція ... Питання про« реальності »і існування електричного поля насправді - це філософський, скоріше навіть метафізичний питання. У фізиці уявлення про поле виявилося надзвичайно корисним - це одне з найбільших досягнень людського розуму ".

Електричне поле є однією зі складових єдиного електромагнітного поля і проявом електромагнітної взаємодії.

Список використаної літератури

Потік напруженості електричного поля. Теорема Гаусса в інтегральної формі

Інформація про роботу «Електричне поле»

Розділ: Фізика
Кількість знаків з пробілами: 24053
Кількість таблиць: 1
Кількість зображень: 7

струму від двох змінних: поляризації і швидкості зміни потенціалу. Даний підхід дає можливість моделювання нестаціонарних електричних полів в електрохімічних системах. Математична модель Розглядається заповнена провідним середовищем область D, межа якої S складається з анодних Sa, катодних Sk і ізольованих Si ділянок: S = Sa # 61525; Sc # 61525; Si, = D # 61525; S, Залежність.

вдвічі. Досвід показує, що і сила взаємодії зменшується вдвічі. Повторюючи подібний прийом, можна переконатися, що сила пропорційна добутку зарядів. Електричне поле Як же здійснюється взаємодія двох зарядів? Спочатку вважали, що заряди безпосередньо через порожнечу діють один на одного. Кожен заряд на відстані «відчуває» присутність іншого. Це була так.

його реалізацію. 1. НОРМУВАННЯ ЕЛЕКТРИЧНИХ ПОЛІВ В даний час на міжнародному рівні і в ряді економічно розвинених країнах, в тому числі і в нашій, розроблені і затверджені документи, які регламентують рівні електричних полів, створюваних високовольтним обладнанням і спорудами. Перші норми стосуються електромагнітних полів були встановлені в [1, 2, 3, 4, 5]. ВУкаіни регламентуються.

участю негативних іонів в процесі повільного окислення. Підсумовуючи все вищевикладене, слід вказати, що дві основні точки зору на механізм впливу електричного поля на процес горіння (вплив на газодинаміку процесу або прямий вплив на кінетику реакції) є відображенням двох більш загальних концепцій щодо ролі і місця заряджених частинок в процесі горіння, одна.