Дивергенція векторного поля 1
.
15.1.4. Дивергенція векторного поля
Інтегральні характеристики - потік і лінійний інтеграл - характеризують векторне поле "в цілому". Кількісну характеристику поля в кожній точці дають, що вводяться нижче, диференціальні характеристики. Введемо поняття дивергенції.
Оточимо довільну точку M поверхнею (S) довільної форми (наприклад, сферою досить малого радіуса). Нехай (V) - обсяг, укладений всередині поверхні (S).
Визначення. Кінцевий межа відносини потоку поля через поверхню (S) до обсягу, укладеним всередині неї при стягуванні поверхні до точки M і прагненні обсягу V до нуля називається дивергенцией векторного поля в точці M:
Зауваження. Визначення (1.10) є інваріантне (яке залежить від системи координат) визначення дивергенції.
Дивергенція характеризує віднесену до одиниці об'єму потужність потоку векторного поля, "вихідного" з точки M. тобто потужність джерела (при), або стоку (при), що знаходиться в точці M.
У декартовій системі координат дивергенція обчислюється за формулою
Властивості дивергенції. Нехай і - векторні поля, - скалярна функція. тоді:
З урахуванням формули (1.10) перепишемо формулу Гаусса-Остроградського (1.6)
- потік векторного поля через замкнуту поверхню (S) дорівнює потрійному інтегралу за обсягом (V), укладеним всередині цієї поверхні від дивергенції поля.
Приклад 1. Обчислити.
Приклад 2. Обчислити, де u (M) - скалярна функція, - векторна функція.
Рішення. За формулою (1.10) знаходимо:.
Приклад 3. Використовуючи теорему Гаусса-Остроградського (1.12), знайти потік векторного поля через всю поверхню (S) тіла (V):
в напрямку зовнішньої нормалі.
Рішення. Маємо. Тому =. Для обчислення потрійного інтеграла перейдемо до циліндричних координат. Рівняння поверхні набуде вигляду, =.
15.1.5. Ротор (вихор) векторного поля
Нехай поле - диференціюється поле (тобто проекції вектора поля на осі координат є диференційованими функціями).
Визначення. Вихором векторного поля (позначається rot) називається вектор, проекція якого на довільний вектор визначається як межа відносини циркуляції поля по деякому контуру (L), який містить точку M. і лежить в площині, перпендикулярній вектору, до площі області, обмеженою цим контуром, за умови , що цей контур стягується в точку M. а площа області (S) прагне до нуля:
У тривимірному просторі через декартові прямокутні координати вектора виражається наступним чином:
або в зручній для запам'ятовування символічній формі
Теорема Стокса. Нехай координати вектора + безупинні і мають безперервні приватні похідні. Тоді циркуляція векторного поля по замкнутому контуру (L) дорівнює потоку вихорів поля через довільну поверхню (S), натягнуту на цей контур:
Передбачається, що орієнтація контуру (L) і поверхні (S) узгоджені: при позитивному обході контуру нормаль спрямована від "ніг до голови".
Властивості ротора: 1); 2).
Визначення. Векторне поле називається безвихровим в даній області (V), якщо.
Приклад 1. Знайти ротор поля вектора напруженості магнітного поля.
Решеніе.Вектор в координатної формі:
+ -
- поле напруженості - безвіхревое поле.
Приклад 2. Обчислити циркуляцію вектора по контуру 1) безпосередньо, 2) по теоремі Стокса.