Диференціальні рівняння для чайників типи, застосування, приклад рішення ду

На сьогоднішній день одним з найважливіших навичок для будь-якого фахівця є вміння вирішувати диференціальні рівняння. Рішення диференціальних рівнянь - без цього не обходиться жодна прикладна задача, будь це розрахунок якого-небудь фізичного параметра або моделювання змін в результаті прийнятої макроекономічної політики. Ці рівняння також важливі для ряду інших наук, таких як хімія, біологія, медицина і т.д. Нижче ми наведемо приклад використання диференціальних рівнянь в економіці, але перед цим коротко розповімо про основні типи рівнянь.

Спасибі, що Новомосковскете і діліться з іншими

Диференціальні рівняння - найпростіші види

Мудреці говорили, що закони нашого всесвіту написані на математичній мові. Звичайно, в алгебрі є багато прикладів різних рівнянь, але це, здебільшого, навчальні приклади, непридатні на практиці. По-справжньому цікава математика починається, коли ми хочемо описати процеси, що протікають в реальному житті. Але як відобразити фактор часу, якому підпорядковуються реальні процеси - інфляція, вироблення продукції або демографічні показники?

Згадаймо одне важливе визначення з курсу математики, що стосується похідної функції. Похідна є швидкістю зміни функції, отже, вона може допомогти нам відобразити фактор часу в рівнянні.

Тобто, ми складаємо рівняння з функцією, яка описує цікавий для нас показник і додаємо в рівняння похідну цієї функції. Це і є диференціальне рівняння. А тепер перейдемо до найпростіших типів диференціальних рівнянь для чайників.

Найпростіше диференціальне рівняння має вигляд $ y '(x) = f (x) $, де $ f (x) $ - деяка функція, а $ y' (x) $ - похідна або швидкість зміни шуканої функції. Воно вирішується звичайним інтеграцією: $$ y (x) = \ int f (x) dx. $$

Другий найпростіший тип називається диференціальним рівнянням із перемінними. Таке рівняння виглядає наступним чином $ y '(x) = f (x) \ cdot g (y) $. Видно, що залежна змінна $ y $ також входить до складу конструюється функції. Рівняння вирішується дуже просто - потрібно "розділити змінні", тобто привести його до виду $ y '(x) / g (y) = f (x) $ або $ dy / g (y) = f (x) dx $. Залишається проинтегрировать обидві частини $$ \ int \ frac = \ int f (x) dx $$ - це і є рішення диференціального рівняння поділяють типу.

Останній простий тип - це лінійне диференціальне рівняння першого порядку. Воно має вигляд $ y '+ p (x) y = q (x) $. Тут $ p (x) $ і $ q (x) $ - деякі функції, а $ y = y (x) $ - шукана функція. Для вирішення такого рівняння застосовують вже спеціальні методи (метод Лагранжа варіації довільної сталої, метод підстановки Бернуллі).

Є більш складні види рівнянь - рівняння другого, третього і взагалі довільного порядку, однорідні і неоднорідні рівняння, а також системи диференціальних рівнянь. Для їх вирішення потрібна попередня підготовка і досвід вирішення більш простих завдань.

Велике значення для фізики і, що несподівано, фінансів мають так звані диференціальні рівняння в приватних похідних. Це означає, що шукана функція залежить від декількох змінних одночасно. Наприклад, рівняння Блека-Шоулса з області фінансового інжинірингу описує вартість опціону (вид цінного паперу) в залежності від його прибутковості, розміру виплат, а також термінів початку і кінця виплат. Рішення диференціального рівняння в приватних похідних досить складне, зазвичай потрібно використовувати спеціальні програми, такі як Matlab або Maple.

Приклад застосування диференціального рівняння в економіці

Наведемо, як і було обіцяно, простий приклад рішення диференціального рівняння. Спочатку поставимо завдання.

Для деякої фірми функція маржинального виторгу від продажу своєї продукції має вигляд $ MR = 10-0,2q $. Тут $ MR $ - маржинальний виторг фірми, а $ q $ - обсяг продукції. Потрібно знайти загальну виручку.

Як видно з завдання, це прикладної приклад з мікроекономіки. Безліч фірм і підприємств постійно стикається з подібними розрахунками в ході своєї діяльності.

Приступаємо до вирішення. Як відомо з мікроекономіки, маржинальний виторг є похідну від загальної виручки, причому виручка дорівнює нулю при нульовому рівні продажів.

З математичної точки задача звелася до вирішення диференціального рівняння $ R '= 10-0,2q $ за умови $ R (0) = 0 $.

Проинтегрируем рівняння, взявши первісну функцію від обох частин, отримаємо загальне рішення: $$ R (q) = \ int (10-0,2q) dq = 10 q-0,1q ^ 2 + C. $$

Щоб знайти константу $ C $, згадаємо умова $ R (0) = 0 $. Підставами: $$ R (0) = 0-0 + C = 0. $$ Значить C = 0 і наша функція загальної виручки приймає вид $ R (q) = 10q-0,1q ^ 2 $. Завдання вирішена.

Спасибі, що Новомосковскете і діліться з іншими