Диференціальне рівняння Бернуллі

Передсвяткові новорічні дні віщують заліки та іспити, тому в терміновому порядку я вирішив порадувати Новомосковсктелей ще одним уроком по темі Диференціальні рівняння першого порядку. Йтиметься про так званих рівняннях Бернуллі, які ні-ні, та й зустрічаються в практичних роботах і контрольних завданнях. Рівняння Бернуллі рекомендую вивчати тільки в тому випадку, якщо у вас вже є досвід решеніядіфференціальних рівнянь першого порядку. особливо, слід добре орієнтуватися в лінійних неоднорідних рівняннях виду.

Диференціальне рівняння Бернуллі має вигляд:

Очевидно - рівняння Бернуллі по загальній структурі нагадує лінійне неоднорідне рівняння першого порядку.

Характерною ознакою. за яким можна визначити рівняння Бернуллі, є наявність функції «ігрек» в ступеня «ен»:.

Якщо чи. то рівняння Бернуллі перетворюється в рівняння, які ви вже повинні вміти вирішувати.

Ціла ступінь може бути як позитивною, так і негативною (в другому випадку вийде дріб), крім того, може бути звичайної дробом, наприклад.

Як і лінійне неоднорідне рівняння першого порядку. рівняння Бернуллі може приходити на новорічний ранок в різних костюмах, вовком:

Важливо, щоб в рівнянні присутній товариш. який, як я тільки що показав, іноді може маскуватися під корінь.

Зверніть увагу, що одним з очевидних рішень рівняння Бернуллі (якщо) є рішення:. Дійсно, якщо знайти і підставити в рівняння розглянутих типів, то вийде вірне рівність. Іноді принципові викладачі можуть зажадати додатково вказати дане рішення у відповіді.

Всі популярні різновиди рівняння Бернуллі я приніс в великому мішку з подарунками і приступаю до роздачі. Розвішуйте шкарпетки під ялинкою.

Знайти приватне рішення диференціального рівняння, що відповідає заданому початковому умові.
.

Напевно, багато хто здивувався, що перший подарунок відразу ж витягнутий з мішка разом сзадачей Коші. Це не випадковість. Коли для вирішення запропоновано рівняння Бернуллі, чомусь дуже часто потрібно знайти приватне рішення. За своєю колекції я провів випадкову вибірку з 10 рівнянь Бернуллі, і загальне рішення (без приватного рішення) потрібно знайти всього в 2-х рівняннях. Але, власне, це дрібниця, оскільки спільне рішення доведеться шукати в будь-якому випадку.

Рішення: Даний діффур має вигляд. а значить, є рівнянням Бернуллі