диференціал функції

Література: Збірник завдань з математики. Частина 1. Під ред А. В. Єфімова, Б. П. Демидовича.

Визначення. Функція $ y = f (x) $ називається диференційованою в точці $ x_0, $ якщо її приріст $ \ Delta y (x_0, \ Delta x) $ може бути представлено у вигляді $$ \ Delta y (x_0, \ Delta x) = A \ Delta x + o (\ Delta x). $$

Головна лінійна частина $ A \ Delta x $ збільшення $ \ Delta y $ називається диференціалом цієї функції в точці $ x_0, $ відповідним приросту $ \ Delta x, $ і позначається символом $ dy (x_0, \ Delta x). $

Для того, щоб функція $ y = f (x) $ була диференційована в точці $ x_0, $ необхідно і достатньо, щоб існувала похідна $ f '(x_0), $ при цьому справедливо рівність $ A = f' (x_0). $

Вираз для диференціала має вигляд $$ dy (x_0, dx) = f '(x_0) dx, $$ де $ dx = \ Delta x. $

Властивості диференціала:

5. Нехай $ z (x) = z (y (x)) - $ складна функція, утворена компазиция функцій $ y = y (x) $ і $ z = z (y). $ Тоді

$$ dz (x, dx) = z '(y) dy (x, dx), $$ то ес т ь вираз для диференціала складної функції через диференціал проміжного аргументу має таку ж форму, що і основне визначення $ dz (x, dx) = z '(x) dx. $ Це твердження називається инвариантностью форми 1-го диференціала.

Знайти диференціали зазначених функцій при довільних значеннях аргументу $ x $ і при довільному його збільшенні $ \ Delta x = dx: $

Нехай $ y (x) = x \ sqrt + a ^ 2 \ arcsin \ frac-5. $ Тоді $ dy = y '(x) dx. $

Таким чином, $ dy = 2 \ sqrtdx. $