Чому дорівнює довжина хвилі амплітуди ймовірності електрона

Головна Навчальні матеріали з фізики Чому дорівнює довжина хвилі амплітуди ймовірності електрона

Розподіл амплітуд має задовольняти вимогу: в точках x = ± b / 2 амплітуда повинна звертатися в нуль. Формула (4) допускає таку можливість, але не при будь-якому значенні k. Хвильове число повинне приймати тільки значення -
(5)
Зауважимо, вимогу рівності нулю амплітуди ймовірності на кордонах ями може задовольняти не тільки функція (4), а й
y (x) = 2y0sinkx (6)
при наступних значеннях хвильового числа:
(7)
Отже, можна зробити висновок, що розподіл амплітуд імовірності частинки в нескінченно глибокій потенційній ямі описується або законом синуса, або законом косинуса. Об'єднання обмежень (5) і (7), що накладаються на хвильове число, дає
(8)

З умови (8) випливає важливий наслідок: модуль імпульсу частинки p = ћk також може приймати тільки дискретний ряд значень:
(9)

де n приймає тільки цілі значення: 1, 2, 3, ... Повна енергія частинки E дорівнює кінетичної енергії, тому
(10) Це енергетичний спектр частинки. Вираз (10) показує, що енергія частинки в потенційній ямі квантуется. Квантований енергетичний спектр називають дискретним.

Залежність від часу амплітуди ймовірності частинки перебувати в стані з певним значенням енергії зводиться до обертання стрілок, що зображують амплітуди. Так що, дивлячись на малюнок 21 з прикладом розподілу амплітуд, треба мати на увазі, що всі стрілки і весь графік розподілу амплітуд обертаються. При цьому модулі амплітуд не змінюються в часі. З цього випливає, що ймовірність застати частку в стані з певною енергією не змінюється з часом.

Питання 1. Нехай частка в ямі знаходиться в стані з певним значенням енергії. У цьому випадку, відповідно до (10), можна вважати, що p2 також має певне значення - невизначеність значення імпульсу дорівнює нулю. Але при цьому невизначеність координати не перевищує b. Здається, що виникає протиріччя принципу невизначеності. Насправді ніякого протиріччя немає. У чому помилка міркувань?

Завдання 5. Частка маси m знаходиться в нескінченно глибокій прямокутній потенційній ямі ширини b в стаціонарному стані на енергетичному рівні №n. Знайдіть силу, з якою частка при цьому тисне на стінки ями.

Рішення . Сила спрямована в бік зменшення енергії і дорівнює мінус похідною від енергії по координаті стінки ями:
(11)

Сила тиску зростає з ростом номера рівня.

Завдання 6. Частка маси m знаходиться в прямокутній потенційній ямі ширини b. Глибина потенційної ями дорівнює U0. Яке число стаціонарних пов'язаних станів у частинки?

Сувора квантова теорія показує, що частинки, що знаходяться в обмеженій області простору, завжди мають дискретний енергетичний спектр. Строгий розрахунок дає, що енергетичний спектр електрона в атомі водню точно такий же, який дає теорія Бора.

Атомні спектри також є дискретними, так як електрони в атомах рухаються в обмеженій області простору.

Інший приклад - спектр енергій гармонійного осцилятора -
(13)
де w - власна частота коливань осцилятора, n = 0, 1, 2, ...

Гармонійний осцилятор - надзвичайно поширена в природі фізична система. В курсі 9 класу показано, що кілька пружно пов'язаних між собою осциляторів поводяться як ряд невзаимодействующих гармонійних осциляторів - мод, кожна з яких рухається, як одновимірний гармонійний осцилятор. Наприклад, натягнута з силою F струна, довжини L і лінійної щільністю r має цілий ряд власних частот, які задаються формулою -
(14)
Вона може коливатися з однією з цих частот (в одній моді). При цьому струна має конфігурацію стоячій хвилі (моди струни - стоячі хвилі). Згідно з квантовою механікою, енергетичний спектр струни являє собою накладення спектрів виду (13) всіх мод.

Стоячі електромагнітні хвилі - теж гармонійні осцилятори. Переходи стоячих хвиль на вищі рівні розглядаються як народження нових фотонів.

4. Домашнє завдання

4.1 Теоретичний матеріал

Опрацювати матеріал заняття за посібником, за своїми конспектами і за підручником "Фізика 11" під ред. А. О.Пінського. §72. Зробити доповідь "Частка в нескінченно глибокій потенційній ямі"

4.2 Рішення задач

Завдання 1. Хвиля амплітуди ймовірності частки в тривимірному потенційному ящику розміром Lx'Ly'Lz має хвильовий вектор з компонентами kx, ky, kz. Питання про описі станів частинки в такому ящику розпадається на три незалежні одномірні завдання, вирішені на цьому занятті.
а) Знайдіть дозволені значення проекцій хвильового вектора частинки.
б) Як виглядає енергетичний спектр частинки?
в) У ящику знаходиться N частинок. Вважаючи, що в стані теплової рівноваги середні значення квадратів проекцій хвильових чисел рівні між собою, визначте тиск частинок на стінки ящика. Висловіть тиск через середнє значення енергії однієї частки.

2. Самостійна робота

Завдання 1. Чому дорівнює довжина хвилі амплітуди ймовірності електрона, з кінетичної енергією 0,512 МеВ?

Завдання 2. Якщо I0 - інтенсивність поляризованого світла, то інтенсивність світла, що пройшло через поляризатор з віссю пропускання, повернутою під кутом J до площини поляризації, дорівнює I = I0cos2J (закон Малюса). Світло не проходить крізь схрещені поляризатори (поляризатори схрещені, якщо кут між осями пропускання становить 900).
а) Чому дорівнює амплітуда того, що поляризований фотон пройде через поляризатор з віссю пропускання, орієнтованої під кутом J до площини поляризації фотона? Яка частка світла поглинається?
б) Між двома схрещеними поляризаторами поставили третій, вісь пропускання якого становить кут J з віссю пропускання першого. Чому дорівнює інтенсивність світла, що пройшло через систему трьох поляризаторів, якщо інтенсивність світла, що вийшло з першого, дорівнює I0.
в) Середній поляризатор повернули на 90о. Як зміниться амплітуда проходження фотона через нього? Чому рівні повні амплітуди перехожих-дення при обох установках середнього поляроїда?
г) Поляризатор частина світла поглинає. Чому ж додавання в середину системи поляризатора збільшує інтенсивність світла, що пройшло через систему? Опишіть явище проходження одного фотона на мові амплітуд імовірності.

Завдання 3. Через три щілини, розташовані на однаковій відстані b один від одного, ширина кожної з яких менше довжини хвилі l. пропускають пучок електронів. Електрони потрапляють на екран, розташований на відстані L від щілин. Амплітуди попадання електрона в кожну з щілин однакові. Розгляньте ситуацію L >> l, b, x.
а) Визначте частоту спрацьовування детектора I. закріпленого на екрані на відстані x від початку координат. Вважайте, що частота спрацьовування детектора, встановленого на початку координат, дорівнює I0. Думайте також, що модуль амплітуди попадання електрона з щілини на екран не залежить від x.
б) Отримайте наближене вираження відстані між центральним і першим максимумом інтенсивності попадання електронів.

Завдання 4. Оцініть обертальну енергію основного стану молекули водню. Висловіть її через момент інерції молекули і постійну Планка.

Завдання 5. Частка маси m з імпульсом p падає на потенційну сходинку висоти Як ставляться частоти зміни амплітуди ймовірності по обидві сторони сходинки, якщо частка знаходиться в стаціонарному стані? Як ставляться значення довжини хвилі амплітуди ймовірності по обидві сторони сходинки в стаціонарному стані?

Завдання 6. Хвиля амплітуди ймовірності частки в тривимірному потенційному ящику розміром Lx'Ly'Lz має хвильовий вектор з компонентами kx, ky, kz. Питання про описі станів частинки в такому ящику розпадається на три незалежні одномірні завдання, вирішені на занятті 2.1.10.
а) Знайдіть можливі значення проекцій хвильового вектора частинки.
б) Як виглядає енергетичний спектр частинки?
в) У ящику знаходиться N частинок. Вважаючи, що в стані теплової рівноваги середні значення квадратів проекцій хвильових чисел рівні між собою, визначте тиск частинок на стінки ящика. Висловіть тиск через середнє значення енергії однієї частки.