частка не

НЕБЕЗРАЗЛІЧНО1 нареч.
1. Співвідноситься по знач. з дод. небайдужий.
НЕБЕЗРАЗЛІЧНО2 предікатів
1. Оцінка якийсь л. ситуації, чиїх-л. дій як представляють певний інтерес, заслуговують певної уваги.

"Не байдуже. В знач. Оповідь."

А ось як це - коли в знач.зказ. - не могли б Ви навести приклад? Взагалі все забула з школьногро курсу%

Здається мені, що тут - саме в знач. оповідь. І тому - окремо.
А, до речі, і перевірити просто - слово легко вставляється між:
До нас можуть приєднатися всі, кому не зовсім байдужа доля музею.

НЕ з іменниками, прикметниками і говірками на -О, -Е пишеться окремо. якщо:
- в реченні є або мається на увазі протиставлення (з союзом А чи без нього);
- якщо до прикметником і прислівники належать слова ЗОВСІМ, ДАЛЕКО, нітрохи, АЖ НІЯК, НІСКІЛЬКИ, НІКОЛИ, ЗОВСІМ і ін

Взагалі-то все це правило можна було б звести до однієї фрази: "У негативних пропозиціях НЕ пишеться окремо, а в стверджувальних разом".

Ваша пропозиція стверджувальне. Ті, кому доля музею небайдужа, можуть приєднатися до нас.
До того ж це слово можна замінити синонімом або подібним виразом. Ті, кому доля музею цікава, можуть приєднатися до нас. До нас можуть приєднатися всі, кому цікава доля музею.
А ось негативне пропозицію: До нас можуть приєднатися всі, кому не байдужа, а вкрай цікава доля музею.

Якщо Ви стверджуєте відсутність байдужості у кого-то. то пишете разом.
Вони небайдужі.
Якщо Ви заперечуєте саме байдужість. то пишете окремо.
Вони не байдужі.
В усному мовленні це розрізнити просто - Ви підкреслює це інтонацією.
У письмовій мові, щоб Вас правильно зрозуміли інші люди, Вам потрібно додати хоча б непряме заперечення. Наприклад: Вони аж ніяк не байдужі.

Так, дуже докладне роз'яснення.
В меморіз! :-)
Ех, куди поділася моя російська мови. в школі я вважала, що у мене "вроджена грамотність".

посилання виявилися вгорі :)

Дуже цікаво. Це треба "пожувати".
Мені дійсно чулася в реченні саме негативна інтонація ..
Спасибі, є над чим подумати :)))