Біноміальні коефіцієнти
В даному дуже важливому додатку мова піде про біноміальних коефіцієнтах, точніше, про їх розширення на випадок довільних значень верхнього індексу. Іноді така тема в літературі називається «розширений трикутника Паскаля», оскільки розширення біноміальних коефіцієнтів тягне за собою розширення трикутника Паскаля, який з цих коефіцієнтів полягає, а також розглянута тут функція (1 + z) n (точніше, її розкладання в ряд) називається біноміальним поруч.
Властивості біноміальних коефіцієнтів і докази основних тотожностей в цьому розділі не передбачається, мова про них йде тільки в контексті виробляють функцій. Передбачається, що Новомосковсктель знайомий з основними положеннями комбінаторики або, по крайней мере, зустрічався з ними в реальному житті. Адже математика оточує нас з усіх боків. Числа, закономірності та різноманітні комбінації можуть з'явитися де завгодно: під час походу в магазин, розрахунку шансів на перемогу в казино, в теорії управління і навіть в футурологічних прогнозах. В цілому, всі вміють рахувати. Але іноді комбинаторика виявляється більш складною, ніж це необхідно в повсякденному житті. Скажімо, при розрахунках ентропії деякої складної фізичної системи, коли потрібно обчислювати кількість допустимих конфігурацій відповідної фізичної моделі. Так ось розширені біноміальні коефіцієнти якраз більше відносяться до наукових, а не повсякденним розрахунками.
Основні визначення
Тут я змушений трохи зупинитися на визначеннях і позначеннях, щоб не виникало непорозумінь. Підготовлений Новомосковсктель може пропустити цей пункт.
Біноміальний коефіцієнт позначається символом. або (що часто зустрічається в російській літературі).
Давайте відразу визначимося з позначеннями. Правильне позначення для біноміальних коефіцієнтів ні. як вчать в українських школах (і в університетах), а. На жаль, я не знаю, з якої причини вУкаіни частіше використовується позначення. а в іншому Світі -. Тому врахуйте, що якщо ви пишете статтю для українських журналів, вас зрозуміють, як би ви ці коефіцієнти не позначені, а для зарубіжних журналів раджу писати правильно.
Читається цей символ різними способами: «число поєднань з n по k», або просто «з n по k», а також говорять «вибір k з n». Сенс зазначених виразів укладений в комбінаторної інтерпретації цього символу - це число способів вибрати k об'єктів з n різних об'єктів, причому порядок вибору не важливий. Наприклад, з безлічі можна вибрати два елементи десятьма способами:
У загальному випадку відомо, що
В процесі обчислень, щоб не брати до уваги зайві факторіали, можна відразу частина множників скоротити:
Від цієї формули і будемо відштовхуватися в майбутньому. Саме вона і є правильним визначенням біноміальних коефіцієнтів. Число n називається верхнім індексом, а k - нижнім. Відповідно до комбінаторної інтерпретацією, числа n і k повинні бути цілими невід'ємними. Наше завдання полягатиме в тому, щоб розширити визначення на довільні значення n.
Біноміальні коефіцієнти, впорядковані спеціальним чином, утворюють трикутник Паскаля.
У XVII столітті французький математик, фізик, філософ Блез Паскаль вперше в своєму «трактаті про арифметичний трикутник» найбільш повно розповів про властивості цього самого трикутника (хоча сам трикутник зустрічався в роботах інших математиків задовго до Паскаля).
Будується цей чудовий трикутник дуже просто:
По краях трикутника ставляться одиниці, а будь-яке число, яке стоїть не скраю, обчислюється як сума двох чисел, розташованих зверху зліва і зверху праворуч від нього. Наприклад, 10 = 4 + 6. або 3 = 1 + 2. Отже, мова зайшла про трикутнику Паскаля в зв'язку з тим, що він як раз утворений біноміальними коефіцієнтами:
Для наших цілей (і для зручності) краще записувати трикутник, вирівнюючи його по лівому краю:
Нулі з'являються за рахунок нуля в чисельнику (коли k> n). Зауважте, що в нульовому стовпці ставляться одиниці, так як
У чисельнику стоїть твір нульового числа елементів, яке за визначенням дорівнює 1. Дана формула вірна для будь-якого (в тому числі, комплексного) n.
Ну ось, ми вже наближаємося до того, щоб вивчити біноміальні коефіцієнти для будь-якого n. Наше розширення, по-перше, має бути таким, щоб формула залишилася колишньою (для зручності), по-друге, трикутник Паскаля, утворений біноміальними коефіцієнтами (з цілим від'ємним значенням індексу), не повинен втратити своє основне властивість:
воно свідчить, що число в клітці (n, k) дорівнює сумі верхнього числа і верхнього лівого (коли числа вирівняні по лівому краю).
По-третє (що найважливіше), повинна залишитися справедливої Біноміальна теорема, затвердження якої нагадується в наступному пункті.
Біноміальна теорема
Цей вислів також носить назву біном Ньютона. Коефіцієнти бинома Ньютона і називаються біноміальними коефіцієнтами.
Тепер, користуючись біном Ньютона і трикутником Паскаля, можна порахувати, наприклад (взявши третю сходинку трикутника),
Даний сайт присвячений виробляють функцій, тому нас дана теорема цікавить лише з цієї позиції. Запишемо виробляє функцію в наступному вигляді:
Представлена виробляє функція генерує послідовність біноміальних коефіцієнтів з верхнім індексом, рівним n. Верхній індекс в сумі можна записати рівним ∞. це нічого не змінює, коли n ціле невід'ємне (чому?). Зверніть увагу, що підстановка z = 1 дає чудове тотожність (ряд кінцевий, тому підстановка справедлива):
яке показує, що сума всіх чисел в n -му рядку трикутника Паскаля дорівнює двійці, зведеної в ступінь n.
Дане розкладання функції (1 + z) n в ряд узгоджується з формулою Тейлора, у відповідність з якою коефіцієнт, що стоїть при z k дорівнює
Нагадаю, що для цієї функції ряд Тейлора сходиться при | z |<1 (когда n произвольно). Эта функция также носит название «Биномиальный ряд».
розширення
Тепер нас цікавить відповідь на питання: чи можна допустити в біноміальної теоремі, щоб n було цілим негативним? Можна, причому трикутник Паскаля розширюється «вгору» єдиним чином, якщо ми хочемо зберегти його основну властивість:
при цьому . Розглянемо негативні рядки докладніше:
Наприклад, мінус перший рядок трикутника може бути тільки такий, і ніякої інакше, оскільки. а інші елементи обчислюються однозначно:
Для чого потрібні розширені біноміальні коефіцієнти? Для того, щоб розкладати в ряд прості дроби. наприклад,
Тепер виведемо формулу для цілих негативних біноміальних коефіцієнтів виходячи не з їх положення в трикутнику, а з їх правильного визначення:
Дана формула також узгоджується з розкладанням цієї функції в ряд Тейлора для | z |<1.
Підемо далі. На практиці можуть стати в нагоді раціональні показники ступеня, наприклад, розглянемо біноміальний ряд для n = 1/2.
Ця формула дає нам можливість розкладати в ряд функцію
Аналогічно (ми залишаємо докладний висновок Новомосковсктелю),
а це, в свою чергу, дозволяє записати ще одну корисну виробляє функцію:
Мова йде про біноміальними ряді і про його місце в теорії виробляють функцій. Розглянуто окремі випадки показника бинома: n - ціле і n = ± 1/2.