бесіда 5

Бесіда 5. Математичні поняття і їх визначення

Всякий математичний об'єкт володіє якимись властивостями. Так, наприклад, трикутник має такі властивості: має три сторони; 2) три внутрішніх кута; 3) шість попарно рівних зовнішніх кутів і т. Д. Такі переконання про наявність або відсутність у даного об'єкта будь-якого властивості називаються судженнями. Ось ще приклади суджень: 1) чотирикутник має дві діагоналі; 2) за кожним натуральним числом безпосередньо слід в натуральному ряду інше натуральне число; 3) парне число ділиться на два і т. Д.

Судженнями є також пропозиції, що вказують на відносини або зв'язку об'єктів, наприклад: "5 більше 3", "АВ є стороною трикутника ABC", "Кут А не є суміжним з кутом В" і т. Д. А ось питання або вимоги не є судженнями.

Серед властивостей будь-якого об'єкта є істотні і несуттєві для його визначення. Властивість є істотним, якщо воно притаманне цьому об'єкту і без нього воно не може існувати. Несуттєві властивості - це зазвичай випадкові, їх відсутність, як правило, не впливає на існування об'єкта. Зауважимо, що при вирішенні конкретних завдань несуттєві взагалі властивості об'єктів можуть мати й істотне значення для вирішення даного завдання.

Розглянемо, наприклад, трикутник, зображений на рис. 3. Його властивості: 1) сторони трикутника АВ і ВС рівні; 2) медіана BD перпендикулярна основи АС і ділить кут В навпіл - це істотні властивості цього трикутника. А ось властивості: 3) підставу АС рівнобедреного трикутника ABC горизонтально або 4) вершина рівнобедреного трикутника позначена буквою В - є несуттєвими. Якщо ми якось повернемо цей трикутник і його підставу при цьому виявиться розташоване не горизонтально або позначимо вершину якоїсь іншої буквою, то адже трикутник не перестане бути рівнобедреним.

Зауважимо, що коли говорять про математичний об'єкт, то зазвичай мають на увазі всі безліч об'єктів, що позначаються одним терміном (назвою). Так, коли говорять про математичний об'єкт - трикутнику, то мають на увазі всі геометричні фігури, які є трикутниками. Безліч всіх трикутників становить обсяг поняття про трикутник. Точно так само безліч всіх натуральних чисел становить обсяг понять про натуральне число. Отже, обсяг поняття - це безліч всіх об'єктів, що позначаються одним і тим же терміном.

Будь-яке визначення математичного поняття будується зазвичай так: спочатку вказується назва об'єкта цього поняття, потім перераховуються такі його істотні властивості, які дозволяють встановити, чи є той чи інший предмет об'єктом даного поняття чи ні.

Наприклад, визначення паралелограма: "Параллелограммом називається чотирикутник, протилежні сторони якого паралельні". Як бачимо, це визначення побудовано так: спочатку вказано назву об'єкта визначається поняття - паралелограм, потім вказані такі його властивості: 1) паралелограм - це чотирикутник; 2) протилежні його сторони паралельні. Перше властивість - це вказівка ​​того більш загального поняття, до якого належить визначається поняття. Це більш загальне поняття називається родовим по відношенню до обумовленому поняттю. В даному випадку родовим поняттям для паралелограма є чотирикутник. Друге властивість - це вказівка ​​видового властивості, яке відрізняє паралелограм від інших видів чотирикутника. Ось ще приклад визначення: "парне число називаються такі натуральні числа, які кратні числу 2". Це визначення, так само як і попереднє, побудовано за такою схемою:

В даному випадку ми маємо: назва визначається поняття - парні числа, родове поняття - натуральні числа, видові відмінності - кратні числу 2.

Визначення понять за цією схемою називається визначенням через рід і видові відмінності.

Іноді в математиці зустрічаються й інші способи визначення понять. Розглянемо, наприклад, визначення трикутника: "Трикутником називається фігура, яка складається з трьох точок, які не лежать на одній прямій, і трьох попарно з'єднують їх відрізків". У цьому визначенні вказано родове поняття для трикутника - фігура, а в якості видового відмінності зазначений спосіб побудови такої фігури, яка є трикутником: потрібно взяти три точки, що не лежать на одній прямій, і з'єднати кожну їх пару відрізком. Таке визначення називається генетичним (від слова генезис - походження). Ось ще приклад генетичного визначення: "Симетрією щодо точки називається таке перетворення фігури F у фігуру F 'при якому кожна точка X фігури F переходить в точку X' фігури F '. Побудованої в такий спосіб: на продовженні відрізка ОХ за точку Про відкладається відрізок ОХ' . рівний ОХ ". Тут в якості видових відмінностей перетворення симетрії відносно точки від інших видів перетворень зазначений спосіб побудови точок фігури F '. симетричною фігурі F відносно точки О.

Зустрічаються в математиці і такі визначення, в яких вказується, як можна отримати об'єкти визначається поняття один за іншим по порядку. Наприклад, визначення арифметичній прогресії дається таким чином: "Числова послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, складеному з одним і тим же числом, називається арифметичною прогресією". Тут визначається поняття - арифметична прогресія, родове поняття - числова послідовність, як видового відмінності зазначений спосіб отримання всіх членів прогресії, починаючи з другого, який полягає в тому, що для отримання будь-якого члена треба до попереднього члену додати одне і те ж число. Це визначення можна записати у вигляді такої формули:

Таке визначення називається індуктивним (від слова індукція - наведення на умовивід від часткового до загального) або рекурентним (від слова рекурсія - повернення).

Однак не всі математичні поняття можуть бути логічно визначені зазначеними вище способами. Дійсно, кожне визначення математичного поняття зводить визначається поняття до більш широкому (більш загального, т. Е. Має більший обсяг) родового поняття, визначення родового поняття зводить його до ще більш широкому поняттю і т. Д. Очевидно, що цей процес зведення одних понять до більш широким, більш загальним поняттям повинен мати кінець, він не може бути нескінченним. Іншими словами, в кінцевому підсумку визначення понять ми повинні прийти до таких понять, які вже не зводиться до інших, т. Е. Вони логічно не обумовлений. Такі поняття в математиці називаються первинними або основними.

Наприклад, визначаючи паралелограм, ми зводимо його до поняття чотирикутника, визначаючи чотирикутник, ми зводимо його до поняття багатокутника, потім до поняття геометричної фігури, яка зводиться при визначенні до поняття точки. Поняття точки вже є не визначеним, т. Е. Первинним. Первинними поняттями в математиці, крім точки, є поняття прямої, площини, належати, числа, множини (сукупність) і деякі інші.

Отже, друге, чому потрібно навчитися в математиці, - це вміння будувати визначення математичних понять будь-яким способом. Це вміння досить складне, і ми про нього поговоримо ще в наступній розмові. А поки виконайте наступне завдання, щоб закріпити ті відомості, які ви отримали в даній бесіді.

3.1. Які з наведених нижче властивостей трапеції є суттєвими, а які несуттєвими:

а) Дві сторони трапеції паралельні.

б) Обидва кута при більшому підставі гострі.

в) Сума кутів трапеції, що належать до однієї бічної сторони, дорівнює 180 °.

г) Підстави трапеції горизонтальні.

д) Обидва кута при меншому підставі трапеції тупі.

3.2. Як пов'язані між собою математичні об'єкти і математичні поняття?

3.3. Вкажіть, які з наведених нижче пропозицій є судженнями, а які ними не є:

а) У трикутнику проведено три медіани.

б) Медіани трикутника перетинаються в одній точці.

в) Чому дорівнює добуток ступенів з підставами?

г) Логарифм добутку позитивних чисел дорівнює сумі логарифмів множників.

3.4. У наведених нижче визначеннях виділіть назву об'єктів визначених понять, родове поняття і видові відмінності:

а) Числа, які можна записати в вигляді звичайних дробів, називаються раціональними.

б) Арифметичним квадратним коренем з числа а називається невід'ємне число, квадрат якого дорівнює а.

в) Дві прямі на площині називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.

г) Якщо точка О є серединою відрізка АВ. то точки A і В називаються симетричними точками щодо точки О.

3.5. Сформулюйте генетичне визначення кола, знаючи, що вона утворюється в результаті обертання відрізка на площині навколо одного з його кінців, другий кінець цього відрізка в цьому випадку описує коло.

3.6. Члени послідовності Фібоначчі (бл. 1170-1250) задаються за допомогою наступної формули: аn + 2 = аn + 1 + an. Сформулюйте визначення цієї послідовності. Яке це визначення?

3.7. Наводимо наступний опис побудови перпендикулярних прямих: "Нехай а і b - дві прямі, які перетинаються. При їх перетині утворюються чотири кути. Нехай # 945; - один з цих кутів. Тоді будь-який з інших трьох кутів буде або суміжних з кутом # 945 ;, або вертикальним з кутом # 945 ;. Звідси випливає, що якщо один з кутів прямий, то інші кути теж прямі. В цьому випадку ми говоримо, що прямі перетинаються під прямим кутом, і називаємо їх перпендикулярними ".

На основі цього опису сформулюйте визначення перпендикулярних прямих.

3.8. Модуль числа визначається наступною формулою:

Сформулюйте словесне визначення модуля числа.

3.9. Послідовність називається зростаючою, якщо кожен її член більше попереднього члена. Запишіть це визначення за допомогою формули.

3.10. Як ви знаєте, трикутник - це такий трикутник, у якого дві сторони рівні, а правильний трикутник - це такий, у якого всі сторони рівні. Чи є правильний трикутник рівнобедреним?

3.11. Вкажіть найближчі родові поняття для наступних понять: а) квадрат; б) ступінь з натуральним показником; в) вертикальні кути; г) просте число; д) хорда.

3.12. Вкажіть кілька родових понять для поняття ромб.

3.13. Чи потрібно (і чи можна) доводити визначення?