Бернуллі диференціальне рівняння методи вирішення

Визначення диференціального рівняння Бернуллі. Розглянуто методи вирішення диференціального рівняння Бернуллі приведенням до лінійного рівняння і методом Бернуллі. Дан приклад докладного рішення рівняння методом Бернуллі.

Диференціальне рівняння Бернуллі - це рівняння виду:
. де n ≠ 0. n ≠ 1. p і q - функції від x.

Рішення диференціального рівняння Бернуллі приведенням до лінійного рівняння

Розглянемо диференціальне рівняння Бернуллі:
(1),
де n ≠ 0. n ≠ 1. p і q - функції від x.
Розділимо його на y n. При y ≠ 0 або n <0 имеем:
(2).
Це рівняння зводиться до лінійного за допомогою заміни змінної:
.
Покажемо це. За правилом диференціювання складної функції:
;
.
Підставами в (2) і перетворимо:
;
.
Це - лінійне. щодо z. диференціальне рівняння. Після його рішення, при n> 0. слід розглянути випадок y = 0. При n> 0. y = 0 також є рішенням рівняння (1) і має входити у відповідь.

Рішення методом Бернуллі

Розглядається рівняння (1) також можна вирішити методом Бернуллі. Для цього шукаємо рішення вихідного рівняння у вигляді добутку двох функцій:
y = u · v,
де u і v - функції від x. Диференціюючи по x:
y '= u' v + u v '.
Підставляємо у вихідне рівняння (1):
;
(3).
Як v візьмемо будь-яке, відмінне від нуля, рішення рівняння:
(4).
Рівняння (4) - це рівняння із перемінними. Вирішуємо його і знаходимо приватне рішення v = v (x). Підставляємо приватне рішення в (3). Оскільки воно задовольняє рівняння (4). то вираз в круглих дужках звертається в нуль. отримуємо:
;
.
Тут v - вже відома функція від x. Це рівняння із перемінними. Знаходимо його загальне рішення, а разом з ним і рішення вихідного рівняння y = uv.

Приклад рішення диференціального рівняння Бернуллі

Вирішити рівняння

На перший погляд, здається, що це диференціальне рівняння не схоже на рівняння Бернуллі. Якщо вважати x незалежної змінної, а y - залежною (тобто якщо y - це функція від x), то це так. Але якщо вважати y незалежної змінної, а x - залежною, то легко побачити, що це - рівняння Бернуллі.

Отже, вважаємо що x є функцією від y. Підставами і помножимо на:
;
;
(П.1).
Це - рівняння Бернуллі з n = 2. Воно відрізняється від розглянутого вище, рівняння (1). тільки позначенням змінних (x замість y). Вирішуємо методом Бернуллі. Робимо підстановку:
x = u v,
де u і v - функції від y. Диференціюючи по y:
.
Підставами в (п.1):
;
(П.2).
Шукаємо будь-яку, відмінну від нуля функцію v (y). задовольняє рівняння:
(П.3).
Поділяємо змінні:
;
;
.
Покладемо C = 0. оскільки нам потрібно будь-яке рішення рівняння (п.3).
;
.
Підставами в (п.2) з огляду на, що вираз в дужках дорівнює нулю (з огляду на (п.3)):
;
;
.
Поділяємо змінні. При u ≠ 0 маємо:
;
(П.4);
.
У другому інтегралі робимо підстановку:
;
.
Інтегруємо частинами:
.
Підставляємо в (п.4):
.
Повертаємося до змінної x:
;
;
.