Ательний (експонентний закон розподілу)

Випадкова величина Х розподілена по показовому закону розподілу з параметром λ. якщо її щільність ймовірності має вигляд:

Функція розподілу має вигляд:

Математичне сподівання і дисперсія для випадкової величини, розподіленої по показовому закону, знаходяться за формулами:

Встановлено, що час ремонту телевізорів є випадкова величина X. розподілена по показовому закону.

Визначити ймовірність того, що на ремонт телевізора буде потрібно не менше 20 днів, якщо середній час ремонту телевізорів становить 15 днів. Знайти щільність ймовірності, функцію розподілу і середнє квадратичне відхилення випадкової величини X.

За умовою математичне сподівання M (х) = 1 / λ = 15, звідки параметр λ = 1/15. Тоді щільність ймовірності і функція розподілу візьмуть вигляд:

Шукану ймовірність P (Х ≥20) можна було знайти за формулою, інтегруючи щільність ймовірності, тобто

але простіше це зробити, використовуючи функцію розподілу:

Знайдемо середньоквадратичне відхилення: σ (X) = М (Х) = 15 днів.

3.Равномерний закон розподілу.

Безперервна випадкова величина Х має рівномірний закон розподілу (закон постійної щільності) на відрізку [a; b], якщо на цьому відрізку функція щільності ймовірності випадкової величини постійна, тобто

Отже, математичне сподівання випадкової величини, рівномірно розподіленим на відрізку (a. B), дорівнює середині цього відрізка.

Дисперсія має вигляд:

Знайдемо ймовірність попадання значення випадкової величини, що має рівномірний розподіл, на інтервал, що належить цілком відрізку [a. b]:

Функція розподілу набуде вигляду:

Потяги метрополітену йдуть регулярно з інтервалом 2 хв. Пасажир виходить на платформу в випадковий момент часу. Яка ймовірність того, що чекати пасажиру доведеться не більше півхвилини.

Знайти математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення випадкової величини X - часу очікування поїзда.

Випадкова величина X - час очікування поїзда на тимчасовому (в хвилинах) відрізку [0; 2] має рівномірний закон розподілу f (x) = 1/2.

Тому ймовірність того, що пасажирові доведеться чекати не більше півхвилини, дорівнює 1/4 від дорівнює одиниці площі прямокутника, тобто

Знайдемо математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення:

12. Імовірність заданого відхилення. Правило трьох сигм.

Теорема. Імовірність модуля відхилення неперервної випадкової величини X від її математичного очікування на величину як завгодно малого числа ε> 0 знаходиться за формулою:

(*)

Правило трьох сигм.

Підставами значення ε в формулу (*), отримаємо:

Отже, з імовірністю як завгодно близькою до одиниці можна стверджувати, що модуль відхилення нормально розподіленої випадкової величини від її математичного сподівання не перевершує потроєного середнього квадратичного відхилення.

Центральна гранична теорема.

Центральна гранична теорема являє собою групу теорем, присвячених встановленню умов, при яких виникає нормальний закон розподілу. Серед цих теорем найважливіше місце належить теоремі Ляпунова.

Якщо випадкова величина Х являє собою суму великого числа взаємно - незалежних випадкових величин, тобто, вплив кожної з яких на всю суму мізерно мало, то випадкова величина має розподіл, необмежено наближається до нормального розподілу.

Початкові і центральні моменти неперервної випадкової величини, асиметрія і ексцес. Мода і медіана.

У прикладних задачах, наприклад в математичної ста-Тістик, при теоретичному вивченні емпіричних розбраті-поділів, що відрізняються від нормального розподілу, воз-ника необхідність кількісних оцінок цих відмінностей. Для цієї мети введені спеціальні безрозмірні характеристики.

Определеніе.Мода неперервної випадкової величини (Мо (X)) - це її найбільш ймовірне значення, для якого ймовірність pi або щільність ймовірності f (x) досягає максимуму.

Определеніе.Медіана неперервної випадкової велічіниX (Me (X)) - це таке її значення, для якого виконується рівність:

P (X Me (X)) =

Геометрично вертикальна пряма x = Me (X) ділить площу фігури під кривою на дві рівні частини.

У точці X = Me (X), функція розподілу F (Me (X)) =

Знайти моду Mo, медіану Me і математичне очікування M випадкової величини X з щільністю ймовірності f (x) = 3x 2. при x Î [0; 1].

Щільність ймовірності f (x) максимальна при x = 1, тобто f (1) = 3, отже, Mo (X) = 1 на інтервалі [0; 1].

Для знаходження медіани позначимо Me (X) = b.

Так як Me (X) задовольняє умові P (X

то P (-∞

Відзначимо отримані 3 значення Mo (x), Me (X), M (X) на осі Ox:

Определеніе.Асімметріей теоретичного розподілу називається відношення центрального моменту третього поряд-ка до кубу середнього квадратичного відхилення:

Определеніе.Ексцессом теоретичного розподілу на-ни опиняються величина, яка визначається рівністю:

де - центральний момент четвертого порядку.

Для нормального розподілу. При отклоне-ванні від нормального розподілу асиметрія позитивна, якщо "довга" і більш полога частина кривої розподілу розташована праворуч від точки на осі абсцис, відповідаю-щей моді; якщо ця частина кривої розташована зліва від моди, то асиметрія негативна (рис. 1, а, б).

Ексцес характеризує "крутизну" підйому кривої розбраті-ділення в порівнянні з нормальною кривою: якщо ексцес поло-жителів, то крива має більш високу і гостру вершину; в разі негативного ексцесу порівнювана крива має нижчу та пологу вершину.

Слід мати на увазі, що при використанні зазначених характеристик порівняння опорними є припущення про однакові величинах математичного очікування і дис-персии для нормального і теоретичного розподілів.

Приклад. Нехай дискретна випадкова величина Х задана законом розподілу:

Знайти: асиметрію і ексцес теоретичного розподілу.

Знайдемо спочатку математичне очікування слу-чайної величини:

Потім обчислюємо початкові і центральні моменти 2, 3 і 4-го порядків і середньоквадратичне відхилення:

Тепер за формулами знаходимо шукані вели-чини:

В даному випадку "довга" частина кривої розподілу рас-покладена праворуч від моди, причому сама крива є не-скільки більш гостровершинності, ніж нормальна крива з тими ж величинами математичного очікування і дисперсії.

Теорема. Для довільної випадкової величини Х і будь-якого числа

Ԑ> 0 справедливі нерівності:

- ймовірність протилежної нерівності.

Нехай X-витрата води на тваринницькій фермі (л).

За умовою М (Х) = 1000.

Тобто не менше, ніж 0,96.

Для біноміального розподілу нерівність Чебишева прийме вигляд: