Абелева група - це 1

можливості розв'язання алгебраїч. рівнянь в радикалах. Зазвичай для позначення операції в А. р використовується адитивна запис, т. Е. Знак + для самої операції, наз. складанням, знак 0 для нейтрального елемента, наз. нулем (в мультипликативной записи він наз. одиницею).

Приклади А. р Всі циклічні групи - Абе-леви, зокрема аддитивная група цілих чисел - абелева. А. р будуть всілякі прямі суми циклич. груп, аддитивная група раціональних чисел Q (що є локально циклічною групою, т. е. групою, все звичайно породжені підгрупи к-рій циклічні), групи типу (або квазіцікліч. групи де - довільне просте число).

Вільне об'єднання в різноманітті А. р збігається з прямою сумою. Вільна абелева група є пряма сума деякого безлічі нескінченних циклич. груп. Будь-яка підгрупа вільної А. р.- вільна А. р Сукупність усіх елементів кінцевого порядку А. р утворює підгрупу, наз. періодичної частиною А. р Факторгруппа А. р по її периодич. частини є групою без крутіння. Таким чином, будь-яка А. р.- розширення периодич. А. р за допомогою А. р без крутіння. Це розширення не завжди расщепляемость, т. Е. Периодич. частина, взагалі кажучи, не виділяється у вигляді прямого доданка. Періодич. А. р порядки всіх елементів до-рій є ступенями фіксованого простого числа р, зв. примарной по простому числу p (в загальній теорії груп вживається термін р-група). Будь-яка периодич. А. р може бути розкладена, притому єдиним способом, в пряму суму зразкових груп, що відносяться до різних простих чисел.

Найбільш повний опис відомо для А. м з кінцевим числом утворюють. Його дає основна теорема про абелевих групах з кінцевим числом утворюють: будь-яка звичайно породжена А. р розкладається в пряму суму кінцевого числа нерозкладних циклич. підгруп, з яких брало частина - кінцеві примарні, частина - нескінченні [Г. Фробениус (G. Frobenius), Л. Штіккельбергер (L. Stickelberger)]. Зокрема, кінцева А. р разложима в пряму суму примарной циклич. груп. Таке розкладання, взагалі кажучи, не єдино, але будь-які два розкладання А. р з кінцевим числом утворюють в пряму суму нерозкладних циклич. груп ізоморфні між собою і, таким чином, число нескінченних циклич. доданків і сукупність порядків примарной циклич. доданків не залежить від вибору розкладання. Ці числа, наз. інваріантами звичайно породженою А. р вони є повною системою інваріантів в тому сенсі, що всякі дві групи, у яких брало ці інваріанти збігаються, ізоморфні. Будь-яка підгрупа А. р з кінцевим числом утворюють сама має кінцевою системою утворюючих.

Не всяка А. р подана в вигляді прямої суми (навіть нескінченного числа) циклич. груп. Для примарной А. р є необхідна і достатня умова існування такого розкладу - критерій Куликова. Нехай А - приблизна А. р по нек-рому простому р. Ненульовий елемент агруппи аназа. елементом нескінченної висоти в А, якщо для будь-якого цілого рівняння вирішується в А, і елементом висоти n, якщо це рівняння вирішується лише для Критерій Куликова: приблизна А. р разложима в пряму суму циклич. груп тоді і тільки тоді, коли вона є об'єднання зростаючої послідовності своїх підгруп, у кожній з яких брало висоти елементів обмежені в сукупності. Будь-яка підгрупа А. р разложимой в пряму суму циклич. підгруп, сама разложима в пряму суму циклич. підгруп. Нерозкладних (в пряму суму) примарні групи вичерпуються циклич. зразковими групами і групами

Кінцеве безліч елементів А. р зв. лінійно залежним, якщо існують текіе цілі числа не всі рівні нулю, що Якщо ж текіх чисел не існує, то це безліч зв. лінійно незалежним. Довільна системі елементів А. р зв. лінійно залежною, якщо лінійно залежна недо-раю кінцева її підсистема. А. р не є періодичною, володіє максимальними лінійно незалежними системами. Потужності всіх максимальних лінійно незалежних підсистем однакові і зв. рангом (Прюфера) даної А. р Ранг периодич. групи вважається рівним нулю. Ранг вільної А. р збігається з потужністю системи її вільних утворюють.

Будь А. р без крутіння рангу I ізоморфна деякої підгрупі адитивної групи раціональних чисел. Існує повний опис таких груп на мові типів. Всякому елементу А. р без крутіння ставиться у відповідність його характеристика - рахункова послідовність. що складається з невід'ємних чисел і символу Ці послідовності будуються таким чином. Всі прості числа нумеруються в порядку зростання і елементу асопоставляется послідовність, на k-му місці к-рій варто число якщо рівняння має рішення в групі, а рівняння вже рішення не має, і варто символ якщо рівняння має рішення при будь-якому Характеристики вважаються еквівалентними, якщо вони відрізняються не більше, ніж на кінець числі місць, і символ в кожній з них стоїть на місцях з одними і тими ж номерами. Характеристики двох лінійно залежних елементів еквівалентні. Клас еквівалентних характеристик зв. типом. Будь-якої А. р без крутіння рангу I однозначно відповідає тип, наз. типом даної групи, причому неізоморфних групам відповідають різні типи.

А. р без крутіння, розкладені в пряму суму груп рангу I, наз. цілком розкладними. Не всяка підгрупа цілком разложимой групи буде цілком разложимой (але всяке пряме доданок таке). Для будь-якого цілого nсуществует А. р без крутіння рангу n, неразложимая в пряму суму. Для рахункових А. р без крутіння може бути побудована повна система інваріантів.

Теорія А. р бере свій початок в теорії чисел, знаходить застосування в багатьох сучасних математич. теоріях. Так, теорія подвійності характерів кінцевих А. р отримала глибокий розвиток в теорії подвійності для топологічних локально компактних груп. Розвиток гомологічен. алгебри дозволило вирішити ряд проблем в теорії А. р напр, дати опис безлічі всіх розширень однієї групи за допомогою іншої. Розвиток теорії модулів нерозривно пов'язано з А. р як модулями над кільцем цілих чисел. Багато результати теорії А. р вдається перенести на випадок модулів над кільцем головних ідеалів. Відносна простота і вивченість А. р (що підтверджує, напр. Разрешимость елементарної теорії А. р) разом з досить різноманітним запасом об'єктів роблять А. р постійним джерелом прикладів у багатьох розділах математики.

Математична енциклопедія. - М. Радянська енциклопедія. І. М. Виноградов. 1977-1985.