78 Вписаний і описаний квадрати - стор
§ 78. Вписаний і описаний квадрати
Вписати в даний коло квадрат вельми просто; треба провести в колі два діаметра, що зустрічаються під прямим кутом, і кінці їх з'єднати прямими лініями. (Поясніть на рис. 217, чому виходить при цьому чотирикутник - квадрат).
Чорт. 216 Чорт. 217 Чорт. 218
Чому дорівнює сторона вписаного квадрата, якщо радіус кола відомий, легко обчислити з трикутника АОВ (рис. 217), користуючись теоремою, Піфагора. Позначивши шукану довжину сторони через а 4, а радіус - через R, маємо
Описати близько даного кола квадрат можна так (рис. 218): накресливши в ньому два взаємно перпендикулярних діаметра, проводять через їх кінці перпендикуляри. (Доведіть, що виходить чотирикутник-квадрат).
Легко переконатися, що сторона описаного квадрата дорівнює діаметру кола (доведіть це).
§ 79. Вписаний правильний шестикутник
Щоб знайти спосіб вписати в даний коло правильний шестикутник, визначимо спочатку довжину його сторони, вважаючи радіус кола відомим. Нехай АВ (рис. 219) є сторона правильного вписаного шестикутника. З'єднаємо вершини А і В з центром Про кола. Так як дуга А і В становить 6-ю частина повної окружності, то вона містить 360 ° / 6 = 60 °; стільки ж градусів укладає центральний кут АОВ. Але якщо кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 60 °, то кути при підставі є рівними 60 ° (чому?). Отже, трикутник АОВ - рівносторонній: АВ = АТ = ВО.
Іншими словами, сторона правильного вписаного шестикутника дорівнює радіусу кола.
Звідси випливає спосіб вписати в коло правильний шестикутник: треба розчинити циркуль на величину радіуса і засікти уздовж окружності шість разів, а потім з'єднати точки ділення, прямими лініями.
§ 80. Вписаний рівносторонній трикутник
Щоб вписати в коло рівносторонній трикутник, можна скористатися способом побудови правильного шестикутника: розділивши окружність на 6 рівних частин з'єднують точки: ділення через одну.
Довжину сторони вписаного, рівностороннього трикутника, вважаючи радіус кола відомим (R), знаходять, користуючись теоремою Піфагора. Якщо (рис. 220) А, В, С,
D є чотири вершини правильного вписаного шестикутника, то AD = А6 = R, BD = а = стороні вписаного рівностороннього трикутника; AD = діаметру кола = 2Л. З прямокутного трикутника ABD (доведіть, що уг. В - прямий) маємо
§ 81. Коло, вписане в правильний багатокутник
Ми знаємо, що у будь-який трикутник можна вписати коло. Покажемо тепер, що можна вписати коло також у всякий
п р а в і л ь н и й м н о г о у г о л ь н и к.
Нехай є правильний багатокутник, частина якого ABCD зображена на рис. 221. Проведемо одно-що ділять двох сусідніх кутів, напр. В і С, і точку Про їх перетину з'єднаємо з усіма вершинами багатокутника. Так як уг. З багатокутника дорівнює куту В, (чому?), То рівні і їх частини: уг. 2 = уг. 3, а отже, і сторона ОС = стороні ОВ (чому?). Трикутники OCD та ОВС мають по дві рівні сторони [ОС = ОВ, АВ = ВС] і рівні кути [уг. 3 = уг. 4]; значить, вони рівні [СУС], і ОВ = ОС, а уг. 3 = уг. 5. Таким же чином переконуємося (виконайте це), що трикутник ODE- трикутнику OCD і т. Д. В результаті дізнаємося, що все трикутники, на які розбитий зазначеним чином наш багатокутник, рівні між собою, а отже, рівні і їх висоти, проведені з точки О. Оскільки точка О однаково віддалена від усіх сторін багатокутника, то вона і є центр вписаного кола. Подібні міркування можна прикласти до всякого правильного багатокутника, а отже, всередині якого правильного багатокутника можна знайти точку, яка служить центром вписаного кола. Іншими словами, -
в про в с я к і й п р а в і л ь н и й м н о г о у г о л ь н і до м о ж н о в п і з а т ь к р у м Центр кола , вписаного в багатокутник, називається ц е н т р о м е т о г о м н о г о у г о л ь н і к а, а радіус вписаного кола -
а п про ф е м о й м н о г о у г о л ь н і к а.
§ 82. Коло близько правильного багатокутника
Подібними міркуваннями можна переконатися, що
о к о л о в с я к о г о п р а в і л ь н о г о м н о г о у г о л ь н і к а м о ж н о о п і з а т ь о до р у ж н і с т ь. Нехай є правильний багатокутник, частина якого ABCDE зображена на рис. 222. Проведемо через середини М і N двох його сусідніх сторін перпендикуляри. Точку їх перетину Про з'єднаємо з усіма вершинами багатокутника. Відрізки ОА, NB і ОС рівні (чому?). Звідси випливає, що уг. 3 = уг. 4. Так як кути В і С багатокутника рівні (чому?), То уг. 3 = уг. 5 і трикутники ОВС і Про CD рівні (СВР).
Таким же чином доводимо, що трикутник OCD дорівнює трикутнику ODE - і т. Д. Ми переконуємося, що прямі, що з'єднують точку Про зі всіма вершинами багатокутника рівні, т. Е. Очка Про є центр описаного кола.
Чи збігаються центри обох кіл - описаної і вписаною? Неважко переконатися, що вони повинні збігатися. Сторони багатокутника служать хордами описаного кола і дотичними вписати. Ми знаємо, що перпендикуляри до дотичним точці дотику повинні проходити через центр вписаного кола. А через центр описаного повинні проходити перпендикуляри, проведені через середини хорд. Але як в даному випадку ті і інші перпендикуляри збігаються, то повинні, звичайно, збігатися і точки їх перетину, т. Е. Центр обох кіл.
Повторювальні питання до §§ 75-82
Які прямокутні фігури називаються вписаними? - Описаними? - У будь-трикутник можна вписати коло? А описати біля нього? Як це виконати? - Як вписати в коло і описати біля нього квадрат? Правильний шестикутник? Рівносторонній трикутник? Чому рівні сторони цих фігур, якщо вважати радіус описаного біля них кола відомим? - У всякий правильний багатокутник можна вписати коло? А описати біля нього? Чи збігаються центри обох кіл? Як називається цей центр? - Як називається радіус кола, вписаного в правильний багатокутник?
97. Знайти діаметр круглого обрубка, призначеного для того, щоб витесати з нього шестикутну шашку для торцевої бруківки. Сторона шашки = 7 см.
Р і ш е н і е. Так як сторона правильного вписаного шестикутника = радіусу описаного кола, то шуканий діаметр кола = 14 см.
98. На рис. 223 зображений контур крокв так зв. мансардного даху, Він накреслений так: півколо розділена на 4 рівні частини і точки поділу з'єднані прямими.
Визначте довжини РЄ u FD, якщо проліт AB = 10 м.
Р і ш е н і е. Дуга РЄ становить 1/4 кола; значить, хорда РЄ дорівнює стороні вписаного квадрата. Так як радіус кола відомий (5 м), то довжина РЄ = 5? 2 = 7 м. Стрілка DFопределяется як різниця GD- GF = 5 - 3,5 = 1,5 м.
99. У колі радіуса 100 см проведені дві хорди, дуги яких 90 ° і 120 °. На скільки сума їх довжин відрізняється від довжини півкола? Який звідси випливає спосіб наближеного розпрямлення окружності?
Р і ш е н і е. Хорда дуги в 90 ° дорівнює стороні вписаного квадрата = 100. 2 = 141. Хорда дуги в 120 ° дорівнює стороні вписаного рівностороннього трикутника = 100. 3 = 173.
Сума їх 141 + 173 = 314. Довжина півкола радіуса 100 (при. = 3,14) дорівнює також 314. Значить, сума цих хорд дорівнює довжині півкола до 4-ї значущої цифри. Випрямляючи окружність, можна відкласти на прямий дві сторони вписаного квадрата і дві сторони вписаного рівностороннього трикутника.
100. Обчислити площу заштрихованих частин фігури рис. 224, якщо радіус кола = R.
Р і ш е н і е. Легко бачити, що кожна з трьох заштрихованих частин представляє собою два сегмента, що відсікаються стороною правильного вписаного шестикутника. Всі три заштриховані частини рівні по площі шести таких сегментів, т. Е. Різниці між площею круга і площею вписаного в нього правильного шестикутника. Остання площа дорівнює 6-кратної площі рівностороннього трикутника зі стороною R. т. Е.
101. Яку частку площі зовнішнього прямокутника (рис. 225) становить його заштрихований ділянку.
Р і ш е н і е. Розглядаючи креслення, можна угледіти, що заштрихований ділянку представляє собою два сегмента, що відсікаються стороною такого вписаного багатокутника, апофема якого? = Радіусу. Позначивши радіус через R. маємо для довжини цього боку a вираз
очевидно, хорда є сторона вписаного рівностороннього трикутника. Площа рівностороннього трикутника зі стороною а дорівнює площа кола радіуса R дорівнює? R 2; звідси площа заштрихованої частини
Так як площа зовнішнього прямокутника = 2R 2, то дані ставлення = 0,61.