6) Вектор електричної індукції
Маючи справу з електростатичним полем в порожнечі, ми вводили в розгляд лінії напруженості. Лінії напруженості в порожнечі володіють тією властивістю, що вони тягнуться безперервно від одних зарядів до інших або йдуть в нескінченність. Не так стоїть справа в діелектриках, якщо враховувати одні тільки вільні заряди. Наприклад, на кордонах розділу діелектриків виникнуть пов'язані поверхневі заряди, і частина ліній напруженості буде на них закінчуватися або з них починатися. Таким чином, лінії напруженості не пройдуть безперервно кордон розділу діелектриків. Тому в неоднорідних діелектриках перестає мати сенс і теорема Остроградського - Гаусса в тому вигляді, як вона була дана раніше. Необхідно ввести для характеристики поля всередині діелектрика такий новий вектор D. лінії якого підуть через діелектрик, а також через кордони їх розділу безперервно. Цей вектор називається вектором електростатичної індукції; він пов'язаний з вектором напруженості Е співвідношенням:
Потік вектора електричної індукції через замкнену поверхню довільної форми дорівнює алгебраїчній сумі зарядів, охоплених цією поверхнею:
Слід зазначити, що заряди qi не обов'язково повинні бути точковими, необхідна умова - заряджена область повинна повністю охоплюватися поверхнею. Якщо в просторі, обмеженому замкнутою поверхнею S, електричний заряд розподілений безперервно, то слід вважати, що кожен елементарний об'єм dV має заряд. В цьому випадку в правій частині виразу (1.5) алгебраїчне підсумовування зарядів замінюється інтегруванням за обсягом, укладеним всередині замкнутої поверхні S:
Вираз (1.6) є найбільш загальним формулюванням теореми Гаусса. потік вектора електричної індукції через замкнену поверхню довільної форми дорівнює сумарному заряду в обсязі, охопленому цією поверхнею, і не залежить від зарядів, розташованих поза розглянутої поверхні.
7) Рівняння Максвела для електростатичного поля в речовині.
1. Перше рівняння Максвелла являє собою закон Гаусса для електричних полів. Максвелл записав його в диференціальної формі. У сучасній записи воно виглядає так.
E - векторне електричне поле (тут і далі жирним шрифтом виділені векторні величини, а курсивом - скалярні);
∇ · - значок оператора дивергенції (потоку);
ρ - сумарний заряд;
εo - діелектрична постійна вакууму.
Воно говорить те, що потік електричного поля Е через будь-яку замкнену поверхню залежить від сумарного електричного заряду всередині цієї поверхні. Інакше кажучи, якщо з замкнутого басейну витікає води більше, ніж в нього втікає (тобто сумарний потік з басейну виходить більше нуля), то ясно, що всередині басейну ховається труба - джерело цієї самої води (інакше б вона швидко скінчилася).
З електричним полем те ж саме: якщо є електричний заряд (труба-джерело води в басейні), то поле від нього буде витікати назовні на всі боки (вода буде виливатися через краю).
Розглянемо поведінку векторів E і D на кордоні розділу двох однорідних ізотропних діелектриків з проницаемостями ІПРІ відсутності на кордоні зарядовГранічние умови для нормальних складових векторів D і E випливають з теореми Гаусса. Виділимо поблизу кордону розділу замкнуту поверхню у вигляді циліндра, що утворює якого перпендикулярна до кордону розділу, а підстави знаходяться на рівній відстані від кордону (рис. 2.6).
Так як на кордоні розділу діелектриків немає вільних зарядів, то, відповідно до теореми Гаусса, потік вектора електричної індукції через дану поверхню
.
Виділяючи потоки через підстави і бічну поверхню циліндра
,
де - значеніекасательной складової усереднене по боковій поверхні. Переходячи до межі при (прицьому також прагне до нуля), отримуємо, або остаточно для нормальних складових вектора електричної індукції
.
Для нормальних складових вектора напруженості поля отримаємо
.
Таким чином, при переході через кордон розділу діелектричних середовищ нормальна складова вектора терпітразрив. а нормальна складова вектора неперервна.