1 Кристалічні ґрати
Кристалічну решітку можна визначити каксовокупность періодично розташованих в просторі точок, з якими пов'язані центри утворюють кристал атомів або молекул (рис.4.2). Точки, в яких розташовані самі атоми або молекули (точніше, точки, щодо яких вони здійснюють теплові коливання), називаютузламі кристалічної решітки (рис.4.2, а). Група атомів, яка пов'язана з кожним вузлом решітки (рис.4.2, б) називаетсябазісом (такі групи повинні бути ідентичні за складом, розташуванню і орієнтації).
Безліч вузлів кристалічної решітки, тобто фактично - абстрактне безліч точок образуетпространственную грати (рис.4.2, а) кристала.
Таким чином, кристалічна решітка - це просторова решітка з базисом.
Мал. 4.2. Освіта кристалічної структури: а) вузли кристалічної решітки, які утворюють просторову решітку; б) група атомів, яка розміщується в вузлах решітки (базис); в) кристалічна решітка, що представляє собою «суму» просторової решітки і базису; на цьому малюнку вузлів решітки вже не видно.
Мал. 4.3. Вектори трансляцій двовимірної кристалічної решітки з базисом з двох атомів (білий і чорний кружок). Вибір цих векторів неоднозначний (
Подання про просторової решітці було введено французьким кристаллографом і математиком Огюстом Браві (1811-1863). Воно виявляється особливо корисним, якщо нас цікавить тільки просторова періодичність в розташуванні атомів кристала, але не цікавить його конкретний хімічний склад. Для будь-якої просторової решітки Браве (внаслідок її періодичності) можна знайти три що не лежать в одній площині вектора
,
де m, n іp - довільні цілі числа.
Таким чином, всі точки (вузли) просторової решітки Браве еквівалентні, т. Е. Мають однакове оточення. Іншими словами, з кожного вузла видно одна і та ж картина решітки.
вектори
Ясно, що вектори
Мал. 4.4. Основні вектори трансляцій
Мал. 4.5. Елементарна (а) і примітивна (в) осередки тривимірної просторової решітки Браве. Зображена гранецентрированная кубічна (ГЦК) решітка. На всіх малюнках вектори
На примітивну осередок доводиться тільки одна точка просторової решітки Браве (рис.4.5, в). Хоча в кожному з восьми кутів паралелепіпеда знаходиться точка решітки, кожна така точка належить одночасно восьми осередків, які примикають до розглянутій точці, тому на одну клітинку доводиться 81 / 8 = 1 точка. Обсяг примітивної ячейкіVc визначається змішаним твором основних векторів трансляцій:
Примітивна комірка є окремим випадком елементарної комірки. При цьому основні вектори трансляцій, а значить, і примітивну осередок, також можна вибрати різними способами. На рис. 4.3, наприклад, (
Інший варіант вибору примітивної комірки показаний на рис. 4.6. Осередок, обрана таким чином, називається у фізиці примітивної осередком Вигнера-Зейтца.
Для однозначної характеристики обраної елементарної або примітивної комірки (рис.4.5, в) в загальному випадку необхідно задати 6 величин: 3 ребра комірки а, b ис і три кути між ними -, , і . Ці величини називаютпараметрамі осередки. Довжини сторін примітивної комірки, тобто довжини основних векторів трансляцій називаютперіодамі трансляцій.
Мал. 4.6. Примітивну осередок можна вибрати такий спосіб (а): 1) провести лінії, що з'єднують цю точку решітки з усіма сусідніми точками; 2) через середини цих ліній перпендикулярно до них провести нові лінії (в разі двовимірної решітки) або площині (в разі тривимірної решітки). Отримана таким способом осередок найменшого обсягу, яка містить тільки одну точку решітки, називається примітивною осередком Вигнера-Зейтца. За допомогою таких осередків можна заповнити весь простір кристалічної решітки так само, як і за допомогою примітивних осередків, зображених на рис. 4.3. Симетрія примітивної комірки Вігнера-Зейтца збігається з симетрією просторової решітки Браве. У цьому можна переконатися на прикладі тривимірної осередку Вігенра-Зейтца (в) об'ємно-центри-рова кубічної (ОЦК) решітки (б).
За допомогою відповідних трансляцій (зрушень) примітивної комірки на вектори
У кристалах багатьох металів і інертних газів базис складається з одного атома. Але відомі неорганічні та біохімічні структури, базис яких містить тисячу і більше атомів.
Якщо базис кристалічної решітки складається з одного атома, то кристалічна решітка називається простий. В цьому випадку всі атоми кристала розташовуються по вузлах однієї решітки Браве.
Якщо базис складається з декількох атомів, то кристалічна решітка називається складною. У цьому випадку кожному атому базису відповідає своя подрешеткаоднотіпних атомів, ідентична решітці Браве кристала.
Приклад двовимірної складної решітки зображений на рис. 4.3. «Білі» і «чорні» атоми можуть бути хімічно ідентичні, але по положенню в кристалічній решітці вони різні. Атоми кристала однотипні, якщо вони хімічно ідентичні і з кожного з них видно одна і та ж картина кристалічної решітки.
Таким чином, щоб «побачити» грати Браве, потрібно «дивитися» тільки на однотипні атоми. При цьому кристал зі складною гратами можна уявити собі двома способами: 1) взяти базис і транслювати його багаторазово за допомогою примітивних векторів трансляцій або 2) взяти кілька в точності однакових решіток Браве і, вставивши їх один в одного, розташувати в вузлах відповідних решіток однотипні атоми . Двовимірний кристал на рис. 4.3, наприклад, складається з двох вставлених один в одного решіток Браве, в вузлах яких розташовані, відповідно, «білі» і «чорні» атоми.