зворотна матриця

Зворотній матриця визначається тільки для квадратних матриць.

Визначення 1. Матриці В називається оберненою до матриці А, якщо АВ = ВА = Е.

Матриця, що має зворотну, називається оборотною. Зворотній матриця позначається А -1.

Властивості оберненої матриці.

1 ˚. Якщо В обратна до А, то А протилежна до В.

Доказ цієї властивості випливає безпосередньо з визначення. Таким чином, маємо (А -1) -1 = А

2 ˚. Якщо у матриці А є зворотна, то вона єдина.

Доведення. Нехай Х і Y - дві матриці, зворотні до А. Тоді XA = AX = E і YA = AY = E.

Розглянемо X (AY) = XE = X.

З іншого боку X (AY) = (XA) Y = EY = Y.

Отже Х = У.

3 ˚. Якщо матриці А і В мають зворотні, то АВ має зворотну, причому (АВ) -1 = В -1 А -1.

Явна формула оберненої матриці.

Нехай дана матриця

Нехай матриця А має ненульовий визначник. Тоді зворотний до A матрицю можна знайти за формулою

де - визначник матриці А, - алгебраїчне доповнення до елементів

матриці А. Тобто =, Тут-визначник, отриманий з визначника матриці А викреслюванням i-того рядка і j-того стовпця.

Для того, щоб довести, що ця формула задає обернену для А, необхідно показати, що. Зробимо це для матриці порядку 3. (В загальному випадку доказ точно таке ж).

=

Тут по головній діагоналі стоїть сума добутків елементів j-того стовпця на їх алгебраїчні доповнення, тоді за теоремою про розкладання по будь-якому стовпцю цей вислів одно визначник матриці А. Поза головною діагоналі стоїть сума добутків елементів j-того стовпця на алгебраїчні доповнення до елементів до- того стовпця (на місці kj), а це дорівнює нулю по теоремі про розкладанні по будь-якому стовпцю.

Застосовуємо теорему про розкладання по будь-якому рядку.

Наприклад, ++ = 0как сума добутків елементів першого рядка на алгебраїчні доповнення до елементів другого рядка, + + = 0как сума добутків елементів третього рядка на алгебраїчні доповнення до елементів другого рядка, + + = як сума добутків елементів другого рядка (на свої) на алгебраїчні доповнення до елементів другого рядка.

Теорема 1. Визначник твори матриць дорівнює добутку визначників.

Теорема 2. (критерій оборотності). Матриця має зворотну тоді і тільки тоді, коли її визначник відмінний від нуля.

Доведення. Необхідність. Нехай матриця А має зворотну. Тоді. Тоді det, detE = 1. det = detA (по теореме1). отже

detA = 1. Значить detA.

Достатність. Нехай визначник матриці А відмінний від 0. Тоді

Значить зворотна матриця для А існує.

Знаходження оберненої матриці за методом Гаусса.

Розглянемо такі перетворення матриці А:

поміняти 2 рядки місцями

помножити рядок на нульове число

до будь-якому рядку додати інший рядок, помножену на будь-яке число.

До матриці А порядку n пріпішем одиничну матрицю того ж порядку

Застосуємо до матриці (А | E) метод Гаусса (аналогічно тому, як описано при обчисленні визначника за методом Гаусса) так, щоб на місці матриці А отримати одиничну матрицю. Те, що при цьому вийде на місці матриці Е, буде зворотною до А. Тут можна застосовувати тільки перетворення рядків.

Приклад 1. Показати, що матриця Аобратіма і знайти її зворотний

(Метод приєднання матриці).

Обчислимо визначник detA = 64 + 25 - 70 - 24 = -5 0.Т.к. визначник відмінний від нуля, то А має зворотну, тобто оборотна.

Приклад 2. Вирішити матричне рівняння AX + B = C, де А =,

Обчислимо detC = (-2) (- 4) - (-1) (- 7) = 8 - 7 = 10

detA = (-2) (- 3) - 15 = 6 - 5 = 10.

Значить матриці С і А - оборотні. Знайдемо з рівняння матрицю Х.