Зв’язок напруженості і потенціалу електростатичного поля

Потенціал і напруженість - дві локальні характеристики електростатичного поля. Тобто, це дві характеристики - енергетична і силова - однієї і тієї ж точки поля.

Розумно припустити, що між ними повинна існувати однозначна зв'язок.

Для відшукання зв'язку з цим, обчислимо роботу електричної сили на елементарному переміщенні dl заряду q в електростатичному полі (рис. 3.7.).

З одного боку:

Але з іншого боку, цю ж роботу можна пов'язати з різницею потенціалів (j1 - j2) = - (j2 - j1) = -d j:

Об'єднавши (3.21) і (3.22), отримаємо:

Важливо відзначити, що тут El - проекція вектора напруженості поля на напрям переміщення, а - зміна потенціалу при переході в поле з точки 1 в точку 2.

Записавши (3.23) для напрямків x. y і z. отримаємо відповідні складові (проекції) вектора напруженості:

Перше рівняння цієї системи означає, що проекція вектора напруженості на вісь x дорівнює похідної потенціалу по x. взятої з протилежним знаком.

Повний вектор напруженості можна, як зазвичай, у вигляді векторної суми:

.

Останнє рівняння прийнято записувати так:

Тут векторний оператор «градієнт» grad =.

Рівняння (3.25) встановлює шуканий зв'язок двох характеристик електростатичного поля - напруженості і потенціалу: напруженість електростатичного поля дорівнює градієнту потенціалу з протилежним знаком.

До останнього часу ми вимірювали напруженість поля в:

Тепер, керуючись співвідношенням (3.23) можна отримати ще одну одиницю виміру напруженості:

.

Нескладно показати, що ці дві одиниці виміру легко перетворюються одна в іншу:

.

Встановивши зв'язок двох характеристик електростатичного поля - потенціалу і напруженості, покажемо, як це співвідношення можна використовувати для розрахунку потенціалу.

Напруженість поля точкового заряду Q відома в будь-якій точці простору:

Так як це сферично симетричне поле, його потенціал буде змінюватися тільки як функція r. Тому зв'язок напруженості і потенціалу можна спростити і записати так:

Різниця потенціалів двох точок поля:

Отриманий результат дозволяє зробити два висновки:

1. Потенціал довільної точки поля точкового заряду обернено пропорційний відстані від заряду до даної точки:

2. Потенціал нескінченно віддаленої точки (r2 ® ¥) дорівнює нулю j ¥ = 0.

Безліч точок однакового потенціалу утворює в просторі сферичні еквіпотенціальні поверхні.

Якщо обкладкам конденсатора повідомлені заряди (+ q) і (-q). то між обкладинками існує поле (див. 2.19).

Скориставшись співвідношенням між напруженістю і потенціалом електростатичного поля, обчислимо різницю потенціалів між обкладинками конденсатора:

Тут b = (R2 - R1) - відстань між обкладками конденсатора.