збіжність ряду

Нехай задана нескінченна послідовність чисел u1, u2, u3 ...

Вираз u1 + u2 + u3 ... + un (1) називається числовим рядом, а числа його составляющіе- членами ряду.

Сума звичайно числа n перших членів ряду називається n-ної часткової сумою ряду: Sn = u1 + .. + un

Якщо сущ. кінцевий межа:. то його називають сумою ряду і кажуть, що ряд сходиться, якщо такої межі не існує, то говорять що ряд розходиться і суми не має.

Ряд складається з членів нескінченної геометричної прогресії зв. геометричним: або

а + а × q + ... + a × q n -1

a ¹ 0 перший член q - знаменник. Сума ряду:

отже кінцевий межа послідовності приватних сум ряду залежить від величини q

т. е. ряд схд-ся і його сума 2 | q |> 1 і межа суми так само дорівнює нескінченності

т. е. ряд розходиться.

3 при q = 1 виходить ряд: а + а + ... + а ... Sn = n × a ряд розходиться

4 при q¹1 ряд має вигляд: а-а + а ... (-1) n -1 a Sn = 0 при n парному, Sn = a при n непарному межі приватних суми не існує. ряд розходиться.

Розглянемо ряд з нескінченних членів арифметичної прогресії: u - перший член, d - різниця. сума ряду

при будь-яких u1 і d одночасно ¹ 0 і ряд завжди розходиться.

3 С-ва збіжних рядів

Нехай дано два ряди: u1 + u2 + ... un = (1) і v1 + v2 + ... vn = (2)

Твором ряду (1) на число l Î R зв ряд: lu1 + lu2 + ... lun = (3)

Сумою рядів (1) і (2) наз ряд:

(U1 + v1) + (u2 + v2) + ... (un + vn) = (для різниці там тільки - появіца)

Т1 Про загальну множителе

Якщо ряд (1) сходиться і його сума = S, то для будь-якого числа l ряд = l × теж сходиться і його сума S '= S × l Якщо ряд (1) розходиться і l ¹ 0, то і ряд теж розходиться. Т. е. Загальний множник не впливає на розбіжність ряду.

Т2 Якщо ряди (1) і (2) сходяться, а їх суми = соотв S і S ', то і ряд: теж сходиться і якщо s його сума, то s = S + S'. Т. е. Сходяться ряди можна почленно додавати і віднімати. Якщо ряд (1) сходиться, а ряд (2) розходиться, то їх сума (або різниця) теж розходиться. А ось якщо обидва ряди розходяться. то їхня сума (або різниця) може як розходиться (якщо un = vn) так і сходитися (якщо un = ¹vn)

Для ряду (1) ряд називається n - ним залишком ряду. Якщо ний залишок ряду сходиться, то його суму будемо позначати: rn =

Т3 Якщо ряд сходиться, то і будь-який його залишок сходиться, якщо будь-якої залишок ряду сходиться, то сходиться і сам ряд. Причому повна сума = часткова сума ряду Sn + rn

Зміна, а також відкидання або додавання кінцевого числа членів не впливає на збіжність (розбіжність) ряду.

Ознака збіжності рядів

Якщо ряд сходиться, то межа його загального члена дорівнює нулю:

Цей ознака є тільки необхідним, але не є достатнім. т. е. якщо межа загального члена дорівнює нулю зовсім необов'язково щоб ряд при цьому сходився. Отже, ось це умова при його невиконанні є зате достатньою умовою розбіжність ряду.

збіжність ряду. ряд Діріхле

Т1 Хай дан рядт (1), члени якого невід'ємні, і не зростають: u1> = u2> = u3 ...> = un

Якщо існує ф-ція f (x) неотрицательная, безперервна і не зростаюча на [1, + ¥] така, що f (n) = Un, "n Î N, то для збіжності ряду (1) необхідно унд досить, щоб сходився невласний інтеграл:. а для розходження досить і необхідно щоб цей інтеграл навпаки розходився (ВАУ!).

Застосуємо цей ознака для дослідження ряду Діріхле: Ось він:. a Î R Цей ряд називають узагальненим гармонійним рядом, при a> 0 загальний член оного un = 1 / n a à0 і убуває тому можна скористатися інтегральним ознакою, функцією здеся буде ф-ція f (x) = 1 / x a (x> = 1) ця ф-ція задовольняє умовам теореми 1 тому збіжність (розбіжність) ряду Діріхле рівнозначна збіжності розбіжність інтеграла:

Можливі три випадки:

Інтеграл а тому і ряд сходиться.

Інтеграл і ряд розходиться

6 Ознаки порівняння

Хай і ряди з невід'ємними членами і для будь-якого n виконується нер-во:

1 Якщо ряд vn сходиться, то сходиться і ряд un

2 якщо ряд un розходиться, то розходиться і ряд vn. Т. е. Кажучи простими українськими словами для простих українських людей (ну для дурнів як ти): З збіжності ряду з великими членами слід збіжність ряду з меншими, а з розбіжність ряду з меншими членами слід розбіжність ряду з великими і не навпаки.

Причому можна вимагати, щоб нерівність (1) виконувалося не для всіх номерів n, а починаючи з деякого n0, т. Е. Для деяких номерів менших n0 нерівність (1) може і не виконуватися. При застосуванні цього ознаки порівняння зручно в якості ряду порівняння брати ряд Діріхле або геометричний ряд, з якими і так вже все ясно.

Якщо сущ вищеописані неотр. ряди, то якщо сущ межа: