Завдання з параметром

Необхідно знайти значення параметра, таке, щоб рівняння мало єдине рішення. Знайомимося з видом рівняння, що задає півколо.

Завдання. Чому дорівнює значення параметра. якщо рівняння

має єдине рішення?

Перепишемо трохи інакше:

Попрацюємо з правою частиною:

Тепер займемося лівою частиною.

У лівій частині маємо рівняння півкола з центром в точці. Як це зрозуміти? Зведемо в квадрат:

Отримали рівняння кола радіуса 24 з центром в точці. Але наявність кореня «відріже» все ординати, менші нуля, ось і залишиться тільки верхня половинка окружності.

А що в правій? Схоже, що пряма, тільки є залежність її рівняння від параметра, тому необхідно зрозуміти, що з цієї прямої відбувається зі зміною параметра. Зауважимо, що при будь-якому точка з абсцисою 11 і ординатою 0 належить прямій. Тобто точка - центр обертання нашої прямої, у якій може змінюватися як коефіцієнт нахилу. так і коефіцієнт. Нас, очевидно, цікавить випадок торкання прямий і півкола. Причому знайти треба коефіцієнт нахилу прямої, тобто тангенс кута.

Півколо і що стосується її пряма

Трикутник - прямокутний з прямим кутом. його катет. а гіпотенуза. тому другий його катет дорівнює 7 (по теоремі Піфагора).

Трикутники і подібні (обидва прямокутні і кут дорівнює куту як кути із взаємно перпендикулярними сторонами). Тому для цих трикутників можна записати відношення подібних сторін:

А шуканий коефіцієнт нахилу прямої дорівнює:

Інших варіантів рішення у цій задачі немає, так як тільки при торканні пряма буде мати одну спільну точку з півколом, у всіх інших випадках - або дві, або жодної.