Завдання b15 рішення складних завдань і похідна приватного

Сьогодні ми продовжуємо вивчати завдання на найбільше і найменше значення з ЄДІ з математики. Тепер перед нами досить серйозне завдання, в якій доведеться використовувати формулу похідної приватного. Отже:

Завдання B15. Знайдіть найменше значення функції на відрізку [0; 1]:

Знаходження найменшого значення функції на відрізку: універсальний алгоритм

В першу чергу згадаємо: як взагалі вирішуються завдання такого типу, в яких потрібно знайти найменше або найбільше значення функції. Рішення таких завдань складається з декількох етапів:

1. В першу чергу, ми маємо похідну: f ';
2. Потім ми прирівнюємо похідну до нуля і знаходимо коріння. Ці точки є кандидатами в точки максимуму і мінімуму, т. Е. Кандидатами в екстремуми. f '= 0;
3. Потім з усіх знайдених коренів ми вибираємо ті, які лежать у нас на відрізку. У нашому випадку мова йде про відрізок [0; 1]. Отже, нам потрібно знайти такі x_, x_, які, з одного боку, є корінням рівняння f '= 0 (т. Е. Є нулями похідної), а з іншого - лежать на відрізку [0; 1]: x_, x_ [0; 1]
4. На цьому кроці допускається найбільше помилок: ми підставляємо в вихідну функцію спочатку кінці відрізка - f (0), f (1) - а потім в цю ж функцію підставляємо нулі похідної - знаходимо значення f (x_), f (x_).

Практика показує, що, як правило, ми отримуємо тільки один корінь. У цьому корені якраз і виникає відповідь до всієї задачі, т. Е. Найменше або найбільше значення функції, але бувають винятки, тому кінці відрізка теж потрібно підставляти.

Пам'ятайте: далеко не завжди найбільше або найменше значення функції досягається в точках максимуму або мінімуму. Цілком можливо, що найбільше або найменше значення виникне на кінцях відрізка.

Рішення завдання B15 за алгоритмом

Давайте застосуємо цей чотириступеневий алгоритм до нашої функції:

Крок 1: Считаем похідну функції

Оскільки перед нами дріб, то зараз потрібно буде вважати похідну дробу. Нагадаю, що похідна приватного вважається за такою формулою:

Застосовуємо це правило для нашої функції. Вважаємо похідну:

Розбираємося з чисельником. Перша думка, яка виникає - розкрити всі дужки і привести складові. Але це не найоптимальніший варіант, тому що є більш красивий і швидкий шлях. Давайте запам'ятаємо: перша дужка - (-1 +2 х), а остання дужка - (1 - 2х), т. Е. Ці дужки протилежні одна одній. За допомогою мінуса ми можемо поміняти знаки. дивіться:

Тепер ми бачимо, що в першому і в другому доданку є загальний множник, а саме - (-1 +2 х). Давайте винесемо це загальний множник за дужку:

Готово! Похідна приватного знайдена.

Крок 2: Прирівнюємо похідну до нуля і розв'язуємо рівняння

Ми отримали досить просту конструкцію, яка є нашою похідною. Переходимо до другого кроку: прирівнюємо цю конструкцію до нуля і вважаємо коріння:

Дріб дорівнює нулю, коли її чисельник дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля. Множник «2» в цьому випадку не може бути дорівнює нулю, тому:

-1 + 2 x = 0;
x = 1/2.

Зрозуміло, при такому х знаменник буде відмінний від нуля, тому що при підстановці у нас вийде 5/4, що явно не є нулем. Отже, x = 1/2 є єдиним коренем (коли похідна дорівнює нулю).

Крок 3: Відбір коренів на відрізку

Переходимо до третього кроку: відбираємо коріння, що лежать на відрізку [0; 1]. У нашому випадку корінь 1/2 дійсно належить цьому відрізку:

Отже, ми сміливо можемо переходити до четвертого кроку і підставляти все три числа, а саме - корінь 1/2 і кінці відрізка 0 і 1 - в вихідну функцію:

Крок 4: Підстановка значень змінної в вихідну функцію

Давайте підставляти. Почнемо з самого складного - числа x = 1/2. вважаємо:

Тепер підставляємо x = 0:

Нарешті підставляємо х = 1, т. Е. Правий кінець відрізка:

У нас вийшло те ж саме число.

Обчислення найбільшого значення функції на відрізку

Разом у нас вийшло три значення функції, т. Е. Три кандидата на відповідь. Насправді їх два, тому що два останніх збігаються. Отримуємо два числа: y = 0,6 і y = 1.

Давайте повернемося до вихідного умові завдання, подивимося, що від нас вимагається. А від нас потрібно знайти найменше значення функції. Т. е. З двох отриманих чисел - 0,6 і 1 - потрібно вибрати найменше. Очевидно, що відповіддю буде y = 0,6. Все, задача вирішена.

Важливе зауваження про найбільшому і найменшому значенні функції

Єдиний момент, на який я б хотів звернути вашу увагу, полягає в наступному. Давайте ще раз повернемося до нашого алгоритму:

1. Знайти похідну: f ';
2. Вирішити рівняння: f '= 0;
3. Відібрати коріння на відрізку: x_, x_ ∈ [0; 1];
4. Обчислити значення функції в останніх нулях похідної і на кінцях відрізка: f (0); f (1); f (x_); f (x_).

На четвертому пункті ми вважаємо значення функції не тільки в нулях похідної, але ще і на кінцях відрізка. У багатьох учнів виникне питання: навіщо взагалі вважати значення функції на кінцях відрізка, якщо і так ясно, що найбільше або найменше значення приймається в нулях похідної?

Хочу вас попередити: це дуже часте і помилкове оману. Тому що при наявності будь-яких обмежень аж ніяк не завжди найбільше або найменше значення функції досягається в точці максимуму або мінімуму.

Розглянемо простий приклад. Погляньте на таку функцію:

Ну і де досягається найбільше та найменше значення цієї функції, а де - точки максимуму і мінімуму? Точка мінімуму очевидна - назвемо її x 0. У ній спадання функції змінюється зростанням. І навпаки, точка x 1 є точкою максимуму, тому що в ній зростання функції змінюється спадання.

Однак максимальне значення функції досягається аж ніяк не в точці x = x 1. а на кінці відрізка - саме в точці x = b функція піднімається на максимальну висоту. І навпаки: найменше значення досягається саме в точці x = a. а ніяк не в точці мінімуму x = x 0. Тому пам'ятайте: найбільше і найменше значення функції на відрізку зовсім необов'язково досягається в точках максимуму і мінімуму. Це значення також може досягатися на кінцях відрізка.

Далеко не завжди найбільше або найменше значення функції досягається в точці екстремуму! Дуже часто це відбувається на кінцях відрізка.

Що стосується завданням з ЄДІ з математики можна сказати наступне: такі графіки функцій, коли найбільше значення виявляється на кінцях відрізка, в справжніх завданнях з ЄДІ зустрічаються вкрай рідко. Однак вони все-таки існують, в тому числі в цьому ЄДІ, а не тільки в пробниках. Тому буде дуже прикро, якщо, знаючи, як вирішується завдання, ви, тим не менш, допустите в ній помилку - просто тому, що не перевірите кінці відрізка.

• Безкоштовна підготовка до ЄДІ 7 простих, але дуже корисних уроків + домашнє завдання
•