Заняття 4, 5 клас, гуртки, малий мехмат МДУ
Заняття 4. Парність
Визначення. Парними ми називаємо ті числа, які діляться без остачі на 2. Всі інші числа ми називаємо непарними.
Основні завдання
0. Як-то математик замовив подвійний обід. Він не знав, скільки коштує обід. Але тільки-но глянувши на чек, він сказав касиру: «Ви помилилися!» Як він це визначив?
Рішення. Нехай звичайний обід коштує n рублів. А математик замовив подвійний обід. Значить, він повинен заплатити за нього вдвічі більше, тобто 2 × n рублів. Число 2 × n - парне, оскільки воно ділиться на 2. Повинно бути, математик побачив на чеку непарну суму і зрозумів, що касир помилився.
1. а) Аня і Боря грають в таку гру. Спочатку Аня пише на дошці натуральне число, а потім на цій же дошці пише число Боря. Якщо сума виявиться непарною, то виграє Аня, а якщо парної - то Боря. Чи може хтось із них завжди вигравати, незалежно від дій свого суперника? б) Гриша і Діма грають в іншу гру. Кожен з них в таємниці від іншого пише число на аркуші паперу. Потім вони показують один одному написані числа. Якщо їх твір непарне, то виграє Гриша, а якщо парне - то Діма. Чи може хтось із них завжди вигравати, незалежно від дій свого суперника?
а) Вигравати може Боря. Справді, якщо Аня напише непарне число, Боря може також написати парне число, і сума написаних чисел буде парної. Якщо ж Аня напише парне число, Боря може написати парне число, і знову сума написаних чисел буде парної.
б) Вигравати може Діма. Незалежно від придуманого Грошей числа, він завжди може написати парне число. Тоді твір числа, написаного Грошей, і парного числа, написаного Дімою, буде обов'язково парних.
Остання сума в цій таблиці парна, якщо кількість доданків парне, і непарна в іншому випадку.
Спочатку заповнимо перші два стовпці таблиці. Це не становить особливих труднощів. Для чисел від 0 до 9 відповідні правила легко перевіряються. Далі можна скористатися ознакою подільності на 2: число ділиться на 2 тоді і тільки тоді, коли, коли його остання цифра ділиться на 2. Остання цифра суми двох чисел дорівнює останній цифрі суми їх останніх цифр. Те ж саме відноситься і до твору (згадайте правила додавання і множення чисел в стовпчик!). Тому досить перевірити правила додавання і множення для чисел, що не перевершують 9.
З правил, перерахованих у другому стовпці таблиці, слід, що:Це дозволяє заповнити дві верхні комірки в останньому стовпчику таблиці.
Нарешті, заповнимо останню комірку таблиці. Що стоїть там сума залежить від парності кількості доданків. Якщо ця кількість парне, всі складові можна розбити на пари: (Н + Н) + (Н + Н) +. + (Н + Н). Згідно з правилом з першого стовпчика таблиці, Н + Н = Ч. Тому (Н + Н) + (Н + Н) +. + (Н + Н) = Ч + Ч +. + Ч. А сума будь-якої кількості парних доданків парна (це теж випливає з правила, записаного в першому стовпчику таблиці). Тому (Н + Н) + (Н + Н) +. + (Н + Н) = Ч + Ч +. + Ч = Ч.
Якщо ж кількість доданків в сумі непарній, то при спробі розбити їх на пари одне виявиться «зайвим»: (Н + Н) + (Н + Н) +. + (Н + Н) + Н. З попередніх міркувань випливає, що ця сума дорівнює Ч + Ч +. + Ч + Н = Ч + Н = Н (тут ми знову скористалися правилами з першого стовпчика таблиці).
3. Твір двох чисел помножили на їх суму. Чи могло в результаті вийти число 3171?
Позначимо наші числа a і b. Тоді цікавить нас величина дорівнює a · b · (a + b).
Розглянемо два випадки:
- Нехай a і b мають однакову парність. Тоді їх сума парна. А значить, і наша величина вийде парної, так як парне (a + b) (див. Задачу 2).
- Нехай a і b різної парності. Тоді їх твір парне (так як або а. Або b парне). А значить, наша величина вийде парної, так як парне а · b (див. Задачу 2).
6. Парламент складається з двох рівних за чисельністю палат. У голосуванні брали участь всі депутати, утрималися не було. Після підведення підсумків було оголошено, що рішення прийнято більшістю в 25 голосів (тобто за одне з рішень проголосувало на 25 осіб більше, ніж за інше). Лідер опозиції заявив, що це обман. Як він це визначив?
Рішення. Нехай за перше рішення було віддано n голосів, тоді за друге рішення було віддано (n +25) голосів. Значить, все було віддано n + n + 25 = 2 · n + 25 голосів. Але число 2 · n парне, а число 25 непарній, тому їх сума непарна. У той же час, так як в парламенті дві рівні за чисельністю палати, загальна кількість голосів має бути парним (воно дорівнює подвоєному кількості членів однієї палати). На це протиріччя і звернув увагу лідер опозиції.
7. Чи можна заплатити без здачі: а) 20 копійок сім'ю монетами по 1, 5 і 10 копійок? б) 20 копійок сім'ю монетами по 1 і 5 копійок? в) 25 копійок вісьмома монетами по 1 і 5 копійок?
а) Так. Наприклад, 10 + 5 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 20.
б) Ні. Сума непарного числа (7 монет) непарних доданків (1 або 5 коп) непарна, а число 20 парне.
в) Ні. Сума парного числа (8 монет) непарних доданків (1 або 5 коп) парна, а число 25 непарній.
8. У ряд виписані числа від 1 до 10. Чи можна розставити між ними знаки «+» і «-» так, щоб значення отриманого виразу дорівнювало нулю?
Рішення. Серед виписаних чисел п'ять парних і п'ять непарних, тому їх сума непарна. Так що якщо перед усіма числами поставити знак «+», нуля не вийде (адже нуль - парне число). Якщо тепер знак «+» перед яким-небудь числом замінити на знак «-», парність написаного виразу не зміниться. Наприклад, 1 + 2 +. + 9 - 10 = 1 + 2 +. + 9 + 10 - 2 · 10. Тому при такій заміні з суми фактично віднімається подвоєне число, перед яким поміняли знак, тобто парне число. Парність суми при цьому не змінюється. Таким чином, при будь-розстановці знаків «+» і «-» значення виразу буде непарних, а значить, не рівним нулю.
додаткові завдання
10. На столі лежать шість монет: три орлом вгору, три решкою вгору. За один хід дозволяється перевертати будь-які дві монети. Чи можна за кілька ходів домогтися того, щоб всі монети лежали решкою вгору?
Рішення. Подивимося, як змінюється кількість решек при наших ходах:- Якщо перевертаються 2 орла, то число решек збільшується на 2.
- Якщо перевертаються 2 решки, число решек зменшується на 2.
- Якщо перевертається одна Решка і один Прилуки, то число решек не змінюється.
11. На 99 картках пишуть числа 1, 2. 99, перемішують їх, розкладають чистими сторонами вгору і знову пишуть числа 1, 2. 99. Для кожної картки складають два її числа і 99 отриманих сум перемножують. Доведіть, що результат четен.
Досить довести, що знайдеться хоча б одна картка, для якої сума чисел на ній парна (адже твір 99 чисел парне тоді і тільки тоді, коли хоча б один із множників четен).
Припустимо, що не існує такої картки, для якої сума написаних чисел парна. Це означає, що на кожній картці написані числа різної парності. Значить, кожному непарному числу від 1 до 99 можна підібрати в пару парне число від 1 до 99, а кожному парним числом можна підібрати в пару непарне число ( «парне» число написано на звороті відповідної картки). Але тоді кількість парних і непарних чисел від 1 до 99 повинно бути однаковим. А насправді з цих чисел 50 непарних і 49 парних. Отримане протиріччя показує, що наше припущення невірно, і хоч на одній картці будуть написані числа однаковою парності. Тоді їх сума буде парному, що і доводить твердження завдання.
12. На диво-дереві росте 30 апельсинів і 25 бананів. Кожен день садівник знімає з дерева рівно два фрукта. Якщо він знімає однакові фрукти, то на дереві з'являється новий банан, а якщо різні - новий апельсин. Зрештою на дереві залишиться тільки один фрукт. Який?
Рішення. Простежимо, як може змінюватися парність числа фруктів при можливих діях садівника.- Садівник знімає з дерева 2 апельсина. Тоді парність числа апельсинів зберігається, а парність числа бананів змінюється (оскільки додається 1 банан)
- Садівник знімає 2 банана. Тоді парність числа апельсинів зберігається, а парність числа бананів змінюється (-2 банана + 1 банан, який виріс)
- Садівник знімає 2 різних фрукта. Число апельсинів залишається незмінним (-1 апельсин + 1 апельсин, який виріс), а парність числа бананів змінюється.
Ви бачите помилку? Виділіть її та натисніть Ctrl + Enter!