Впорядковані множини - студопедія

Вводячи операції надбезліччю, ми не враховували, що самі безлічі можуть мати свою внутрішню структуру, т. Е. Ми вважали, що всі елементи множини рівноправні. Однак в математиці такі «чисті» безлічі представляють мало інтересу, і набагато частіше вивчаються безлічі, між елементами яких існують ті чи інші відносини. Одним з найважливіших відносин між елементами множини є відношення порядку.

Ставлення порядку є нічим іншим, як правило, встановлює порядок "слідування» елементів множини.

Нехай А - деякий безліч, Безліч А називається впорядкованим безліччю. якщо для будь-яких його двох елементів а, b встановлено одне з наступних відносин порядку:

або а ≤ b (а не перевершує b),

або b ≤ а (b не перевищує а),

що володіють такими властивостями:

будь-який елемент не перевищує самого себе;

якщо а не перевершує b. а b не перевищує а. то елементи а і b збігаються;

якщо а не перевершує b. a b не перевищує с. то а не перевершує с.

Порожня множина домовилися вважати впорядкованим. У сформульованому вище визначенні впорядкованої множини, елементами якого можуть бути об'єкти будь-якої природи, знак ≤ Новомосковскется «не перевищує». Звичне читання і сенс цей знак (як знак «менше або дорівнює») набуває в разі, коли елементи множини А - числа.

Два безлічі, складені з одних і тих же елементів, але з різними відносинами порядку, вважаються різними впорядкованими множинами.

Одне і те ж безліч можна впорядкувати різними способами, одержуючи тим самим різні впорядковані множини.

Розглянемо безліч, елементами якого є різні опуклі багатокутники: трикутник, чотирикутник, п'ятикутник, шестикутник і т. Д. Один спосіб утворення впорядкованої множини з даного невпорядкованого безлічі може, наприклад, складатися в тому, що в якості першого елемента впорядкованої множини ми беремо трикутник, в якості другого - чотирикутник, третього - п'ятикутник і т. д. т. е. упорядковуємо безліч в порядку зростання числа внутрішніх кутів багатокутників. Безліч багатокутників може бути впорядковане і іншим способом, наприклад перерахуванням багатокутників в порядку зростання площ, коли в якості першого вибирається багатокутник, що має найменшу площу, в якості другого - багатокутник з площею, що не перевищує площу всіх інших, крім вже обраного, і т. Д .

Впорядковані (кінцеві або рахункові) безлічі часто записують, розташовуючи їх елементи в заданому порядку в круглих дужках.

Записи (1; 2; 3) і (2; 1; 3) представляють різні кінцеві впорядковані множини, які можна отримати з одного і того ж безлічі, впорядковуючи його двома різними способами.

Для запису рахункового впорядкованої множини необхідно вказати перший елемент впорядкованої множини і вказати порядок (правило) розташування наступних елементів.