Властивості подібних фігур - подібність фігур - великий довідник школяра

подоба фігур

Властивості подібних фігур

Теорема. Коли фігура подібна фігурі, а фігура - фігурі, то фігури і подібні.
З властивостей перетворення подібності випливає, що у подібних фігур відповідні кути рівні, а відповідні відрізки пропорційні. Наприклад, в подібних трикутниках ABC і:
; ; ;
.

Ознаки подібності трикутників

Теорема 1. Якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам другого трикутника, то такі трикутники подібні.
Теорема 2. Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого трикутника і кути, утворені цими сторонами, рівні, то трикутники подібні.
Теорема 3. Якщо сторони одного трикутника пропорційні сторонам другого трикутника, то такі трикутники подібні.
З цих теорем випливають факти, які є корисними для вирішення завдань.
1. Пряма, паралельна стороні трикутника і перетинає дві інші його сторони, відсікає від нього трикутник, подібний даному.
На малюнку .

2. У подібних трикутників відповідні елементи (висоти, медіани, бісектриси і т.д.) відносяться як відповідні сторони.
3. У подібних трикутників периметри відносяться як відповідні сторони.
4. Якщо Про - точка перетину діагоналей трапеції ABCD, то.
На малюнку в трапеції ABCD :.

5. Якщо продовження бічіх сторін трапеції ABCD перетинаються в точці K. то (див. Малюнок).
.

Подібність прямокутних трикутників

Теорема 1. Якщо прямокутні трикутники мають рівний гострий кут, то вони подібні.
Теорема 2. Якщо два катети одного прямокутного трикутника пропорційні двом катетам другого прямокутного трикутника, то ці трикутники подібні.
Теорема 3. Якщо катет і гіпотенуза одного прямокутного трикутника пропорційні катету і гіпотенузі другого прямокутного трикутника, то такі трикутники подібні.
Теорема 4. Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, розбиває трикутник на два прямокутних трикутника, подібні даному.
На малюнку .

З подоби прямокутних трикутників випливає таке.
1. Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним між гіпотенузою і проекцією цього катета на гіпотенузу:
; ,
або
; .
2. Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, є середнім пропорційним між проекціями катетів на гіпотенузу:
, або.
3. Властивість бісектриси трикутника:
бісектриса трикутника (довільного) ділить протилежну сторону трикутника на відрізки, пропорційні двом іншим сторонам.
На малюнку в BP - бісектриса.
, або.

Подібність рівносторонніх і рівнобедрених трикутників

1. Всі равносторонние трикутники подібні.
2. Якщо трикутник мають рівні кути між бічними сторонами, то вони подібні.
3. Якщо трикутник мають пропорційні підставу і бічну сторону, то вони подібні.