Властивості матриць з дійсними елементами - студопедія

Будемо розглядати матриці A = [aij] елементи яких аij дійсні; такі матриці називаються дійсними або речовими.

Нехай А = [aij] - справжня квадратна матриця порядку n. Таккак її характеристичне рівняння

є поліном з дійсними коефіцієнтами, то коріння # 955; 1. # 955; 2. # 955; п характеристичного рівняння, що представляють собою власні значення матриці А, в разі їх комплексності попарно сполучені, т. Е. Якщо # 955; s є власне значення матриці А, то поєднане число # 955; * S також є власним значенням матриці А і має ту ж кратність.

Дійсна матриця може не мати дійсних власних значень. Однак в одному важливому випадку, коли елементи матриці позитивні, гарантується існування хоча б одного дійсного власного значення.

Теорема Перрона. Якщо всі елементи квадратної матриці позитивні, то найбільше за модулем власне значення її також позитивно і є простим коренем характеристичного рівняння матриці, причому йому відповідає власний вектор з позитивними координатами.

Власні вектори дійсної матриці А з різними власними значеннями в загальному випадку комплексні і не володіють властивістю ортогональності. Однак, залучаючи власні вектори транспонованою матриці А ', можна отримати так звані співвідношення біортогональних, які для випадку симетричної матриці еквівалентні звичайним співвідношенням ортогональності.

Теорема 4.1. Якщо матриця А - дійсна і власні значення її попарно різні, то існують два базису j> і j> простору Еп. складаються відповідно з власних векторів матриці А і власних векторів транспонованою матриці А ', які відповідають таким умовам біортонорміровкі:

Доведення. нехай # 955; 1. # 955; 2. # 955; п - власні значення матриці А. Так як матриця А - дійсна, то, як ми знаємо, власні значення її - попарно пов'язані, т. Е. Поряд з власним значенням # 955; j. поєднане число # 955; j *; - також є власним значенням матриці А. Позначимо через xj (j = 1, 2. п) відповідні власні вектори матриці А, т. Е.

Так як визначник не змінює свого значення при заміні рядків стовпцями, то

і, отже, транспонована матриця А 'має ті ж власні значення # 955; j. що і матриця А. Нехай xj (j = 1, 2. n) - власні вектори матриці А ', відповідні зв'язаних власним значенням # 955; j *, т. Е.

Вектори також утворюють базис простору Еп. Базиси xj> і біортогональних, а саме:

Дійсно, з одного боку, маємо:

З іншого боку, з огляду на речові матриці А, отримуємо:

З рівності (4.4) і (4.5) виводимо:

Taк як # 955; j ≠ # 955; k при j ≠ k, тоіз равенствa (4.6) випливає рівність (4.3).

Покажемо, що вектори xj> і можна нормувати так, щоб

Справді, розкладаючи вектор xj по векторах базису <>, матимемо xj =.

Звідси, враховуючи умову біортогональних (4.3), отримаємо:

Взявши замість векторів вектори, одержимо необхідну нормування (4.7), так як

Таким чином, якщо власні значення дійсної матриці A різні, то длясобственного базису xj> матріциA завжди можна знайти власний базис транспонованою мaтріци такий, що

де # 948; jk - символ Кронекера.

Следствіе.Еслі матриця A - дійсна і симетрична (A'= A), то можна покласти: x'j = xj (j = 1,2, ..., n), де xj - нормовані власні вектори матриці A.

Виведемо ще так зване білінійної розкладання матриці A.

Теоремa 4.2. Нехай A - квадратна дійсна матриця і

(J = 1,2, ..., n) - ee собственниe вектори, рассматрівaeмие як матриці - стовпці, і

(K = 1, 2 ,. n) - відповідні coбcmвeнниe вeкmopи mpaнcnoнupoвaннoй матриці A', paccматріваемиe як матриці-сmpoкі, npuчем виnoлнeни умови 6uopmoнорміровкі (4.8):

Тоді має місце співвідношення

Доведення. Розглянемо матриці

що складаються відповідно з стовпців Xj (j = 1. n) і рядків Xk '(k = l, ..., n). В силу рівності (4.9) будемо мати:

де E - одинична матриця. Taк як матриця X складається з лінійно незалежних стовпців, то вона - неособлива, т. Е. DetA ≠ 0 і, отже, існує зворотна матриця X -1. На підставі рівності (4.11) маємо:

Звідси випливає, що

і, таким чином, ми отримуємо другі співвідношення біортогональних

Використовуючи ці співвідношення, маємо:

Помноживши цю рівність зліва на матрицю A іучітивая, що