Власні вектора і власні значення лінійного оператора

Найпростіший лінійний оператор - множення вектора на число \ (\ lambda \). Цей оператор просто розтягує все вектора в \ (\ lambda \) раз. Його матрична форма в будь-якому базисі - \ (diag (\ lambda, \ lambda. \ Lambda) \). Фіксуємо для визначеності базис \ (\\) у векторному просторі \ (\ mathit \) і розглянемо лінійний оператор з діагональною матричної формою в цьому базисі, \ (\ alpha = diag (\ lambda _1, \ lambda _2. \ Lambda _n) \ ). Цей оператор, згідно з визначенням матричної форми, розтягує \ (e_k \) в \ (\ lambda _k \) раз, тобто \ (Ae_k = \ lambda _ke_k \) для всіх \ (k = 1,2. N \). З діагональними матрицями зручно працювати, для них просто будується функціональне числення: для будь-якої функції \ (f (x) \) можна покласти \ (f (diag (\ lambda _1, \ lambda _2. \ Lambda _n)) = diag (f ( \ lambda _1), f (\ lambda _2). f (\ lambda _n)) \). Таким чином виникає природне запитання: нехай є лінійний оператор \ (A \), чи можна вибрати такий базис в векторному просторі, щоб матрична форма оператора \ (A \) була діагональною в цьому базисі? Це питання призводить до визначення власних чисел і власних векторів.

Визначення. Нехай для лінійного оператора \ (A \) існує ненульовий вектор \ (u \) і число \ (\ lambda \) такі, що \ [Au = \ lambda \ cdot u. \ Quad \ quad (59) \] Тоді вектор \ (u \) називають власним вектором оператора \ (A \), а число \ (\ lambda \) - відповідним власним числом оператора \ (A \). Сукупність усіх власних чисел називають спектром лінійного оператора \ (A \).

Виникає природне завдання. знайти для заданого лінійного оператора його власні числа і відповідні власні вектора. Цю задачу називають задачею про спектр лінійного оператора.

Рівняння для власних значень

Фіксуємо для визначеності базис в векторному просторі, тобто вважатимемо, що він раз і назавжди заданий. Тоді, як обговорювалося вище, розгляд лінійних операторів можна звести до розгляду матриць - матричних форм лінійних операторів. Рівняння (59) перепишемо у вигляді \ [(\ alpha - \ lambda E) u = 0. \] Тут \ (E \) - одинична матриця, а \ (\ alpha \) - матрична форма нашого лінійного оператора \ (A \). Це співвідношення можна трактувати як систему \ (n \) лінійних рівнянь для \ (n \) невідомих - координат вектора \ (u \). Причому це однорідна система рівнянь, і нам слід знайти її нетривіальне рішення. Раніше було наведено умова існування такого рішення - для цього необхідно і достатньо, щоб ранг системи був менше числа невідомих. Звідси випливає рівняння для власних чисел: \ [det (\ alpha - \ lambda E) = 0. \ Quad \ quad (60) \]

Визначення. Рівняння (60) називається характеристичним рівнянням для лінійного оператора \ (A \).

Опишемо властивості цього рівняння і його рішень. Якщо його виписувати в явному вигляді, отримаємо рівняння виду \ [(-1) ^ n \ lambda ^ n +. + Det (A) = 0. \ Quad \ quad (61) \] У лівій частині варто поліном по змінної \ (\ lambda \). Такі рівняння називаються алгебраїчними ступеня \ (n \). Наведемо необхідні відомості про цих рівняннях.

Довідка про алгебраїчних рівняннях.

Основна теорема алгебри. Рівняння (61) має рішення на комплексній площині \ (\ mathbb \).

Слідство. Рівняння (61) має на комплексній площині стільки рішень, яка його ступінь (рішення враховуються з урахуванням кратності).

Приклад. Розглянемо рівняння \ [\ lambda (\ lambda-1) ^ 2 (\ lambda + 1) ^ 3 = 0. \] Це рівняння 6 ступеня. Воно має наступні рішення: \ (\ lambda = 0 \), \ (\ lambda = 1 \), \ (\ lambda = -1 \), причому кратність першого рішення дорівнює 1 (такі рішення називають простими корінням), кратність другого рішення дорівнює 2, кратність третього рішення дорівнює 3. рішення, кратність яких вище 1, називають кратними. У нашому випадку 1 + 2 + 3 = 6. Рівняння ступеня \ (n \ geq 5 \) неможливо вирішити за допомогою радикалів (теорема Абеля-Руффини). Для рівнянь ступеня \ (n = 2,3,4 \) такі явні формули існують. Однак на практиці рівняння високого ступеня можна успішно вирішувати за допомогою комп'ютерів. Таким чином, в подальшому будемо вважати, що ми тим чи іншим способом побудували рішення рівняння (61).

Розглянемо питання про побудову власного вектора, відповідного відомому власному числу \ (\ lambda _k \). Для цього звернемося до рівняння \ [(\ alpha - \ lambda_k E) u = 0. \] Це рівняння можна розуміти як систему лінійних рівнянь для координат вектора \ (u \) - власного вектора, відповідного власному числу \ (\ lambda _k \). При цьому дана система має нетривіальне рішення, так як ранг цієї системи менше числа невідомих. Вирішуючи цю систему методом Гаусса, можна визначити координати вектора \ (u \). Перебираючи всі значення \ (\ lambda _k \), \ (k = 1,2. N \), знаходимо відповідні власні вектора \ (u_k \).

Приклад. Знайдемо власні значення і власні вектори лінійного перетворення, заданого в деякому базисі наступній матрицею: \ [A = \ left (\ begin5 -7 0 \\ - 3 1 0 \\ 12 6 -3 \ end \ right). \] Матриця \ (A- \ lambda E \) має в даному випадку вид: \ [A- \ lambda E = \ left (\ begin5 - \ lambda -7 0 \\ - 3 1 \ lambda 0 \\ 12 6 -3 - \ lambda \ end \ right). \] Обчислюємо визначник \ (det (A- \ lambda E) \) і виписуємо рівняння на власні значення: \ [det (A- \ lambda E) = - (\ lambda +3) (\ lambda ^ 2-6 \ lambda -16) = 0. \] Звідси знаходимо 3 власних значення: \ (\ lambda _1 = -3, \ lambda _2 = 8, \ lambda _3 = -2 \). Ми отримали 3 собсвенно значення, всі вони мають кратність 1, тобто це прості власні числа. Обчислимо відповідні власні вектора.

1. Розглянемо \ (\ lambda _1 = -3 \). Відповідне рівняння для власного вектора \ (u = (u_1, u_2, u_3) ^ T \) має вигляд: \ [\ left (\ begin8 -7 0 \\ - 3 4 0 \\ 12 6 0 \ end \ right) \ left (\ beginu_1 \\ u_2 \\ u_3 \ end \ right) = 0, \] де справа стоїть нульовий 3-вектор. Ця система рівнянь для 3 невідомих має наступне рішення: \ (u = (0,0,1) ^ T \).

2. Розглянемо \ (\ lambda _2 = 8 \). Відповідне рівняння для власного вектора \ (u = (u_1, u_2, u_3) ^ T \) має вигляд: \ [\ left (\ begin-3 -7 0 \\ - 3 -7 0 \\ 12 6 5 \ end \ right) \ left (\ beginu_1 \\ u_2 \\ u_3 \ end \ right) = 0, \] де справа стоїть нульовий 3-вектор. Ця однорідна система рівнянь для невідомих \ (u_1, u_2, u_3 \) має рішення: \ (u = (7, -3, 0) ^ T \).

3. Розглянемо \ (\ lambda _3 = -2 \). Відповідне рівняння для власного вектора \ (u = (u_1, u_2, u_3) ^ T \) має вигляд: \ [\ left (\ begin7 -7 0 \\ - 3 3 0 \\ 12 6 -1 \ end \ right) \ left (\ beginu_1 \\ u_2 \\ u_3 \ end \ right) = 0, \] де справа стоїть нульовий 3-вектор. Ця однорідна система рівнянь для невідомих \ (u_1, u_2, u_3 \) має рішення: \ (u = (1,1,0) ^ T \).

Властивості власних векторів

Теорема. Нехай все власні числа лінійного оператора \ (A \) - прості. Тоді набір власних векторів, які відповідають цим власним числам, утворює базис векторного простору.

З умов теореми випливає, що всі власні числа оператора \ (A \) різні. Припустимо, що набір власних векторів лінійно залежний, так що існують константи \ (c_1, c_2. C_n \), не всі з яких нулі, що задовольняють умові: \ [\ sum_ ^ nc_ku_k = 0. \ Quad \ quad (62) \]

Розглянемо серед таких формул таку, яка включає мінімальну кількість доданків, і подействуем на неї оператором \ (A \). В силу його лінійності отримуємо: \ [A \ left (\ sum_ ^ nc_ku_k \ right) = \ sum_ ^ nc_kAu_k = \ sum_ ^ nc_k \ lambda _ku_k = 0. \ Quad \ quad (63) \]

Нехай, для визначеності, \ (c_1 \ neq 0 \). Помноживши (62) на \ (\ lambda _1 \) і віднімаючи з (63), отримаємо співвідношення виду (62), але містить на один доданок менше. Протиріччя доводить теорему.

Отже, в умовах теореми з'являється базис, пов'язаний з даними лінійним оператором - базис його власних векторів. Розглянемо матричну форму оператора в такому базисі. Як згадувалося вище, \ (k \) - перший стовпець цієї матриці - це розкладання вектора \ (Au_k \) по базису. Однак за визначенням \ (Au_k = \ lambda _ku_k \), так що це розкладання (те, що виписано в правій частині) містить тільки один доданок і побудована матриця виявляється діагональної. У підсумку отримуємо, що в умовах теореми матрична форма оператора в базисі його власних векторів дорівнює \ (diag (\ lambda _1, \ lambda _2. \ Lambda _n) \). Тому якщо необхідно розвивати функціональне числення для лінійного оператора розумно працювати в базисі його власних векторів.

Якщо ж серед власних чисел лінійного оператора є кратні, опис ситуації стає складніше і може включати так звані Жорданова клітини. Ми надішлемо Новомосковсктеля до більш просунутим посібникам для вивчення відповідних ситуацій.

Знайти власні числа і власні вектори лінійного оператора, заданого в деякому базисі матрицею \ (A \).

1. \ [A = \ left (\ begin0 1 0 \\ - 3 4 0 \\ - 2 1 4 \ end \ right). \]

2. \ [A = \ left (\ begin-3 2 0 \\ - 2 1 0 \\ 15 -7 4 \ end \ right). \]

3. \ [A = \ left (\ begin4 0 5 \\ 7 -2 9 \\ 3 0 6 \ end \ right). \]

4. \ [A = \ left (\ begin-1 -2 12 \\ 0 4 3 \\ 0 5 6 \ end \ right). \]