Визначники квадратних матриць

· Визначник ?? їм квадратної матриці А п-го порядку або визначник ?? їм п-го порядку прийнято називати число, яке дорівнює сумі алгебри п. Членів, кожен з яких є твором п елементів матриці, узятих по одному з кожного рядка і кожного стовпця з определ ?? еннимі знаками. Визначник позначається або.

Визначник другого порядку є число, виражене в такий спосіб:. Наприклад .

Визначник третього порядку обчислюється за правилом трикутників (правило Саррюс):.

Зауваження. Практично визначники третього порядку, як і більш високих порядків, обчислюються з використанням властивостей визначник ?? їй.

Властивості визначників ?? їй п-го порядку.

1. Величина визначника не зміниться, в разі якщо кожен рядок (стовпець) замінити стовпцем (рядком) з тим же номером - транспонувати.

2. У разі якщо один з рядків (стовпець) визначника складається з нулів, то величина визначника дорівнює нулю.

3. У разі якщо в визначник ?? е поміняти місцями два рядки (стовпці), то абсолютна величина визначника не зміниться, а знак зміниться на протилежний.

4. Визначник, що містить дві однакові рядки (стовпці), дорівнює нулю.

5. Загальний множник нд ?? ех елементів рядка (стовпця) можна винести за знак визначника.

· Мінором деякого елемента визначника п -го порядку прийнято називати визначник (п -1) -го порядку, отриманий з вихідного викреслюванням того рядка і того стовпця, на перетині яких знаходиться вибраний елемент. Позначення:.

· Алгебраїчним доповненням елемента визначника прийнято називати його мінор, взятий зі знаком. Позначення: Т.ч. =.

6. Визначник квадратної матриці дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (або стовпця) на їх алгебраїчні доповнення (теорема розкладання).

7. У разі якщо кожен елемент тої рядки є сумою k доданків, то визначник представляється у вигляді суми k визначник ?? їй, у яких нд ?? е рядки, крім тої рядки, такі ж як у вихідному визначник ?? е , а -тая рядок в першому визначник ?? е складається з перших доданків, у другому - з других і т.д. Те ж вірно і для стовпців.

8. Визначник не зміниться, в разі якщо до одного з рядків (стовпців) додати інший рядок (стовпець), помножену на число.

Слідство. У разі якщо до рядка (колонки) визначника додати лин ?? ейную комбінацію інших її рядків (стовпців), то визначник не зміниться.

9. Визначник діагональної матриці дорівнює добутку елементів, що стоять на головній діагоналі, ᴛ.ᴇ.

Зауваження. Визначник трикутної матриці також дорівнює добутку елементів, що стоять на головній діагоналі.

Перераховані властивості визначник ?? їй дозволяють значно спростити їх обчислення, що особливо важливо для визначник ?? їй високих порядків. При цьому цілий ?? есообразно так перетворити вихідну матрицю, щоб перетворена матриця мала рядок або стовпець, що містить як можна більше нулів (''обнуленіе'' рядків або стовпців).

Приклади. Обчислимо ще раз визначник, наведений в попередньому прикладі, використовуючи властивості визначників ?? їй.

Рішення. Зауважимо, що в першому рядку є загальний множник - 2, а в другій - загальний множник 3, винесемо їх за знак визначника (по властивості 5). Далі розкладемо визначник, наприклад, по на одну колонку, використовуючи властивість 6 (теорему розкладання).

Найбільш ефективний метод приведення визначника до діагонального або до трикутного вигляду. Для обчислення визначника матриці досить виконати таке перетворення матриці, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ не змінить визначника і дозволить перетворити матрицю в діагональну.

У висновку зауважимо, що якщо визначник квадратної матриці дорівнює нулю, то матриця прийнято називати вироджених (або особливою), в іншому випадку - невироджених.

Читайте також

Приклад. Множення матриць. Множення матриці на число. Додавання матриць. Операції над матрицями. Над матрицями можна проводити всі лінійні операції, відомі з курсу алгебри. Причому, ці. [Читати далі].