Визначники (детермінанти)

Визначник другого порядку

Визначником другого порядку називається число рівне різниці добутків елементів головної і другий діагоналі:

Приклади визначників другого порядку:

Визначник третього порядку

Визначником третього порядку називається такий вираз:

Визначник третього порядку обчислити легко, якщо врахувати наступне правило: зі знаком плюс йдуть твори трійок чисел, розташованих на головній діагоналі матриці, і в вершинах трикутників з основою паралельним цієї діагоналі і вершиною в протилежний кута матриці. Зі знаком мінус йдуть трійки з другої діагоналі і з треугольноков, побудованих щодо цієї діагоналі. Наступна схема демонструє це правило, зване правилом трикутників. У схемі синім (зліва) відзначені елементи, чиї твори йдуть зі знаком плюс, а зеленим (праворуч) - зі знаком мінус.

Приклади визначників третього порядку:

Визначники будь-якого порядку. Властивості визначників.

Спочатку опишемо основні властивості визначників щодо перетворення матриць. Знання цих властивостей допоможе упрошать обчислення і знаходити визначники довільного порядку.

Властивість 1. Визначник не змінюється при транспонировании. Це означає, що визначник матриці дорівнює визначнику транспонованою матриці (матриці, в якій рядки замінені відповідними стовпцями).

Виходячи з першого властивості, в інших характеристиках ми можемо говорити тільки про рядках, маючи на увазі, що ці властивості застосувати також і до стовпців.

Властивість 2. Якщо один з рядків визначника складається з нулів, то визначник дорівнює нулю.

Властивість 3. Від перестановки двох рядків визначник змінює свій знак.

Властивість 4. Визначник, що містить дві однакові рядки, дорівнює нулю.

Властивість 5. Якщо всі елементи деякого рядка помножити на якесь число, то сам визначник множиться на це число.

Властивість 6. Визначник, у якому дві пропорційні рядки, дорівнює нулю.

Властивість 7. Якщо всі елементи i-го рядка визначника n-го порядку представлений у вигляді суми двох доданків: aij = bj + cj. j = 1. n, то визначник дорівнює сумі двох визначників, у яких всі рядки, крім i-й, - такі ж, як і в заданому визначнику, а i-й рядок в одному з доданків складається з елементів bj. в іншому - з елементів cj.

Властивість 8. Якщо одна з рядків визначника є лінійна комбінація його інших рядків, то определітеь дорівнює нулю ..

Властивість 9. Визначник не змінюється, якщо до однієї з його рядків додається будь-яка лінійна комбінація інших рядків.

Теорема (про розкладанні визначника по рядку): визначник дорівнює сумі творів всіх елементів якого-небудь рядка на їх алгебраїчні доповнення. Це означає, що визначник матриці n × n дорівнює (алгебраїчне доповнення Aij = (- 1) i + j Mij. Тут мінор Mij - визначник одержуваний з основного визначника викреслюванням i-го рядка і j-го стовпця)

Теорема про розкладання визначника по рядку дозволяє звести обчислення визначника матриці n × n до вичічленію n визначників матриць (n-1) × (n-1). Таким чином, обчислення визначників з порядком вище третього зводиться до розкладання на суму визначників третього порядку.

За допомогою описаних вище властивостей визначників можна провести попередні перетворення матриці, що полегшують подальші обчислення. Наприклад, якщо перед розкладанням визначника n-го порядку з якої-небудь рядку накопичити в цьому рядку нулі, то розкладання призводить до меншої кількості визначників порядку n-1. Нижче наводиться приклад, в якому спочатку з першого рядка віднімається друга (при цьому з'являються два нуля), а потім йде розкладання по першому рядку (через двох нулів виходить не чотири визначника третього порядку, а тільки два):

Додаткові вправи по определителям

Закріпити матеріали даного розділу ви можете за допомогою вправ по обчисленню визначників.

рекомендована література

[1] А.Г. Курош. Курс вищої алгебри. М. Наука. 1965.