Визначення закону руху точки під дією сили, яка залежить тільки від часу
Диференціальне рівняння руху має наступний загальний вид:
Переходимо до змінної і розглядаємо рівняння першого порядку
Це рівняння із перемінними. Поділяємо змінні:
після чого беремо інтеграли від обох частин. Скориставшись певним інтеграцією, запишемо:
Якщо інтеграл в правій частині береться, звідси знаходимо
де - відома функція часу. Замінюємо його виразом:
знову поділяємо змінні та інтегруємо в відповідних межах:
Остання рівність визначає шуканий закон руху точки. Завдання можна вирішувати і за допомогою невизначених інтегралів. В цьому випадку при кожному інтегруванні не потрібно забувати вводити довільну постійну інтегрування.
Приклад. На тіло маси, розташоване на нерухомій горизонтальній площині, починає діяти постійна по напрямку горизонтальна сила де t - час в секундах, а - заданий постійний коефіцієнт. Одночасно з додатком сили тілу повідомляється в напрямку сили швидкість.
Беручи тіло за матеріальну точку і нехтуючи тертям, визначити закон руху тіла.
Рішення. Виберемо початок координат в початковому положенні точки, вісь сумісний із загальним напрямком сили F і початкової швидкості Рух починається в момент. У поточний момент тіло знаходиться в деякому положенні М, який визначається координатою (рис. 5). На тіло діють сила F, обумовлена в умові завдання, а також сила тяжіння і нормальна реакція N площині. Так як сили і N перпендикулярні осі, їх проекції на цю вісь дорівнюють нулю. Сила F проектується в натуральну величину з позитивним знаком:. Так само в натуральну величину з позитивним знаком проектується і поточна швидкість тіла:. Складаємо диференціальне рівняння руху, яке відразу записуємо у вигляді рівняння першого порядку
Після розділення змінних і інтегрування матимемо
Вважаємо, знову поділяємо змінні та інтегруємо:
Постійні інтегрування визначаємо за початковими умовами, які мають вигляд:
Для цього підставляємо початкові умови в результат першого і другого інтегрування і знаходимо:
Тепер можемо записати шукане рівняння руху тіла