Визначення швидкості та прискорення точки при різних

способах завдання її руху

Траєкторією точки називається геометричне місце послідовних положень цієї точки в просторі.

Існує три способи завдання руху точки: векторний, координатний і природний.

При векторному способі завдання руху положення точки М визначається завданням радіуса-вектора. проведеного з деякого заданого центру О (рис. 1):

Вираз (1.1) є законом руху при векторному способі. Швидкість точки дорівнює першої похідної від радіус-вектора точки по часу

Вектор швидкості спрямований по дотичній до траєкторії в сторону руху точки.

Прискорення точки одно першої похідної від вектора швидкості за часом або другої похідної від радіус-вектора за часом

Вектор прискорення лежить в дотичній площині траєкторії і спрямований в бік її увігнутості.

При координатному способі завдання руху положення точки М в системі відліку Оxyz визначається трьома координатами x. y. z. При русі точки її координати змінюються з плином часу, отже, вони є функціями від часу (рис. 2)

Рівняння (1.4) називається рівнянням руху точки в декартових координатах. Для визначення швидкості точки визначаються проекції швидкості на осі координат як перші похідні від відповідних координат точки за часом

Після обчислення проекцій швидкостей визначаються модуль і напрям вектора швидкості точки

і напрямні косинуси вектора

Швидкість точки вимірюється в м / с.

Проекції прискорення на осі координат дорівнюють першим похідним від відповідних проекцій швидкості за часом або другим похідним від відповідних координат точки за часом

Обчисливши проекції прискорення на осі координат, можна визначити модуль і напрям вектора прискорення точки:

Прискорення точки вимірюється в м / с 2.

За природного способу завдання руху точки відомі (рис. 3):

1. Траєкторія точки АВ.

2. Початок відліку Про із зазначенням позитивного «+» і негативного «-» напрямків відліку дугового координати.

3. Закон зміни дугового координати.

Вираз є законом руху при природному способі завдання руху точки.

Модуль швидкості при природному способі дорівнює першої похідної від дугового координати S за часом

Якщо. то вектор направляємо в сторону позитивного відліку дугового координати S. якщо. то - в протилежну сторону.

Вектор прискорення при природному способі постає як геометрична сума векторів дотичного і нормального прискорень

Дотичне прискорення є складова вектора прискорення, яка виходить проектуванням вектора на дотичну до траєкторії в точці. Дотичне прискорення характеризує зміну модуля вектора швидкості в часі. Модуль дотичного прискорення дорівнює першій похідній від швидкості точки за часом або другої похідної від дугового координати за часом

Якщо. то вектор спрямовується в бік позитивного відліку дугового координати S. якщо. то - в протилежну сторону.

Нормальне прискорення є складова вектора прискорення, яка виходить шляхом проектування вектора на напрямок головної нормалі траєкторії в точці. Нормальне прискорення характеризує зміну вектора швидкості у напрямку. Модуль нормального прискорення дорівнює

де - радіус кривизни траєкторії в точці M.

Вектор нормального прискорення спрямований завжди до центру кривизни траєкторії.

З огляду на, що, модуль прискорення точки:

Розглянемо окремі випадки руху точки:

1. Рівномірний прямолінійний рух. В цьому випадку .

Тоді дотичне прискорення

так як радіус кривизни прямолінійною траєкторії. Значить, відповідно до виразу (1.15), прискорення точки.

Вираз (1.16) є законом руху точки в даному випадку.

2. Рівномірний криволінійний рух. В цьому випадку .

Прискорення точки. тобто по модулю і напрямку збігається з нормальним прискоренням. Закон руху точки по траєкторії в цьому випадку визначається виразом (1.16).

3. равнопеременное прямолінійний рух. У цьому випадку (знак «+» відповідає прискореного руху точки, знак «-» відповідає сповільненого руху).

Після інтегрування виходить

де - швидкість при. Вираз (1.17) визначає закон зміни швидкості в цьому випадку.

В даному випадку нормальне прискорення

В цьому випадку прискорення точки. тобто по модулю і напрямку збігається з дотичним прискоренням. Після повторного інтегрування (1.17) виходить вираз, яке описує закон руху в цьому випадку

4. равнопеременное криволінійний рух. У цьому випадку, на відміну від розглянутого в п. 3,. прискорення. Закон зміни швидкості і закон руху точки визначається відповідно виразами (1.17) і (1.18).

5. Загальний випадок руху. В цьому випадку . Тоді закон зміни швидкості визначається виразом

Закон руху точки

Розглянемо перехід від координатного способу до природного. Пустьдвіженія точки задані координатним способом, тобто відомі функції (1.4). Знайдемо закон руху. Диференціал дуги дорівнює

де. . - диференціали координат точки:. . .

Підставляємо значення і інтегруємо вираз (1.21)

де S0 - дугова координата при.

Введемо поняття про годографом швидкості точки.

Крапка . рухаючись по кріволінейнойтраекторіі (рис. 4), занімаетна ній послідовні положення. Швидкість точки в цих положеннях дорівнює відповідно.

Вибираємо в просторі деяку точку і відкладаємо від цієї точки вектори, геометрично рівні швидкостям. Якщо від точки відкласти вектори швидкості, які відповідають усім положенням точки на траєкторії. і з'єднати кінці цих векторів, то вийде лінія CD. яка є годографом швидкості. Таким чином, годограф швидкості являє собою геометричне місце, де знаходяться кінці векторів швидкості рухається точки, відкладених від однієї і тієї ж точки простору.

Якщо точку. від якої відкладаються швидкості рухається точки, поєднати з початком відліку системи координат. то рівняння

є параметричними рівняннями годографа швидкості.

У розділі «Кінематика точки» можна виділити два основні класи задач:

- визначення рівнянь руху точки, її траєкторії, а також швидкості, прискорення і радіуса кривизни траєкторії в заданий момент часу;

- окремі випадки руху точки.

Перший клас задач розглянемо на наступному прикладі.

Приклад 1. Кривошип м кривошипно-ползунного механізму (рис. 5) обертається навколо осі за законом (- в радіанах, - в секундах). Для точки шатуна і:

1. Знайти рівняння руху в системі координат.

Для визначення рівнянь руху точки вибираємо довільне положення механізму (коли і) в системі відліку і висловлюємо координати точки шатуна

де - виражені в метрах.

2. Визначити траєкторію точки, побудувати траєкторію і вказати положення точки на траєкторії при с.

Для визначення траєкторії точки необхідно з отриманих рівнянь руху. виключити параметр часу. В даному випадку це можна зробити наступним чином. Перепишемо рівняння руху

Зводячи в квадрат ці вирази і складаючи, отримаємо рівняння траєкторії точки:

Таким чином, траєкторія точки є еліпс з півосями a = 0,6 м, b = 0,2 м (рис. 6).

Знаходимо положення точки при с. Для цього в отримані рівняння руху підставляємо заданий час

Вказуємо точку на траєкторії.

3. Для моменту часу з знайти швидкість точки і побудувати вектор швидкості.

Визначаємо проекції швидкості точки на осі координат

Знаючи проекції швидкості і при с, будуємо вектор на рис. 6. Вектор спрямований по дотичній до траєкторії в точці.

4. Для моменту часу з знайти прискорення точки і побудувати вектор на малюнку.

Визначаємо проекції прискорення точки на осі координат

При з м / с?,.

Знаючи проекції прискорення і. будуємо вектор прискорення.

5. У момент часу з знайти радіус кривизни траєкторії. нормальне an і дотичне a # 964; прискорення точки.

Радіус кривизни визначаємо з виразу для нормального прискорення. звідки.

де дотичне прискорення

Знаходимо нормальне прискорення

Тоді радіус кривизни траєкторії

Покажемо на рис. 6 вектори дотичного прискорення. спроектувавши прискорення на напрямок дотичної, і нормального прискорення. спроектувавши на напрямок нормалі.

Методику рішення задач на окремі випадки руху точки розглянемо на наступних двох прикладах.

Приклад 2. Точка починає рухатися рівноприскореному зі стану спокою по колу радіусом R = 0,5 м і за перші 5 з проходить шлях, рівний 2 м. Визначити закон руху точки по колу, прийнявши за початок відліку початкове положення точки, а також її швидкість і прискорення в кінці 5 с.

Для вирішення завдання записуємо вирази, за якими визначаються швидкість і закон руху точки при рівноприскореному русі:

За умовою даного завдання. .

При з м. Тоді.

Швидкість точки при с дорівнює.

Знаходимо нормальне прискорення точки

Прискорення точки при з одно

Приклад 3. Точка рухається так, що її дотичне прискорення. Визначити закон її руху, якщо при. і.

Дотичне прискорення. звідки.

Інтегруємо цей вислів

З іншого боку, . Значить,.

Інтегруючи цей вираз, отримуємо:

Закон руху точки в даному прикладі (м).

Примітка. Дугову координату (рис. 3) не слід плутати з прохідним точкою відстанню. Шлях за час є величина завжди позитивна і дорівнює сумі прохідних точкою відрізків за даний проміжок часу, в той час як координата, що характеризує положення точки на траєкторії, може бути в даний момент часу і негативною. Ця відмінність видно з такого прикладу.

Приклад 4. Точка (рис. 7) рухається по деякій криволінійній траєкторії відповідно до закону. - в метрах, - в секундах. Визначити шлях. пройдений точкою за час с.

Знаходимо моменти часу зупинки точки

Коріння отриманого квадратного рівняння

Знаходимо положення точки на траєкторії в моменти часу