визначення переміщення

4.11. ВИЗНАЧЕННЯ ПЕРЕМІЩЕННЯ. ІНТЕГРАЛ МОРА

Універсальний метод визначення переміщень (лінійних переміщень і кутів повороту), що виникають в будь-який стрижневий системі від довільної навантаження, має особливо велике значення для розрахунку статично невизначених систем.

Розглянемо два стани системи. У першому стані на неї діє будь-яке число яких завгодно сил і моментів (рис. 14.11, а). У другому стані до системи прикладена одна лише зосереджена сила (рис. 14.11, б).

Складемо вираз роботи сили на переміщенні виникає від сил першого стану:

Висловимо (у випадку плоскої задачі) через внутрішні зусилля в стрижнях системи [за допомогою формул (17.11) і (20.11)]:

Домовимося, що рисочки над вказують на те, що ці внутрішні зусилля викликані дією сили, що дорівнює одиниці.

Таким чином, переміщення від будь-якого навантаження за допомогою формули (22.11) можна виразити через внутрішні зусилля, що виникають в заданій системі від цього навантаження і виникають в ній від одиничної сили. Напрямок одиничної сили збігається з напрямом визначається переміщення. Якщо визначається лінійний зсув (наприклад, прогин якої-небудь точки осі стержня), то одинична сила являє собою безрозмірну зосереджену силу, прикладену в цій точці; якщо ж визначається кут повороту поперечного перерізу в будь-якій точці; осі стрижня, то одинична сила являє собою зосереджений момент (також безрозмірний), прикладений в цій точці.

Стан споруди, викликане дією одиничної сили, називається одиничним станом (або фіктивним). На відміну від нього стан, викликаний дією заданого навантаження, називається дійсним (або вантажним).

Іноді цифрові індекси 1 і 2 у формулі (22.11) замінюються літерними, наприклад тип, тоді ця формула набирає вигляду

де - переміщення по напрямку «сили» викликане дією навантаження (групи «сил»).

При розмірах поперечних перерізів кожного стержня системи, постійних по довжині цього стрижня, вираз (23.11) набуває вигляду

Кожне з рівності (22.11) - (24.11) носить назву формули переміщень (інтеграла, або формули, Мора).

Визначення переміщень за допомогою отриманої формули проводиться в такому порядку:

1) перебувають вираження зусиль від заданого навантаження як функції координати довільного перетину;

2) у напрямку шуканого переміщення прикладається відповідна йому одинична сила (при лінійному переміщенні - зосереджена сила, при куті повороту - зосереджений момент);

3) визначаються зусилля від одиничної сили як функції координати довільного перетину;

4) знайдені вирази зусиль підставляються в праву частину формули (23.11) або (24.11) і інтегруванням по ділянках в межах всієї споруди визначається шукане переміщення Якщо позитивно, то переміщення збігається з напрямком одиничної сили, а якщо негативно, то протилежно цьому напрямку.

У разі, якщо елемент конструкції являє собою брус малої кривизни (див. § 1.10), визначення переміщень може виконуватися за формулою Мора, отриманої для прямого бруса, із заміною елемента довжини в подинтегрального вираженні елементом дуги (див. Приклад 3.11).

Іноді, зокрема при розрахунку статично невизначених систем, доводиться визначати взаємні переміщення окремих точок або перетинів споруд. В цьому випадку в напрямку шуканого переміщення прикладається узагальнена одинична сила (при визначенні лінійного переміщення) або узагальнений одиничний момент (при визначенні взаємного кута повороту). Наприклад, якщо потрібно визначити зміна відстані між точками С і D осі рами, зображеної на рис. 15.11, а, то слід в точках С і D докласти поодинокі сили, спрямовані по лінії CD, як показано на рис. 15.11, б. Обчислення інтеграла Мора проводиться за викладеними вище правилами, але при цьому під поодинокими внутрішніми зусиллями розуміються їх значення, відповідні одночасного дії обох одиничних сил.

В даному випадку, якщо результат обчислень інтеграла Мора вийде позитивним, то це буде вказувати на те, що напрямок шуканого переміщення збігається з напрямком одиничних сил, т. Е. Відстань між точками С і D збільшується; знак мінус вказує на зменшення цієї відстані, т. е. на зближення точок С і

Аналогічно можна визначити взаємний кут повороту будь-яких двох перетинів рами, наприклад перетинів, відповідних тим же точках С і D. Для цього в зазначених перетинах треба докласти поодинокі моменти, що діють в протилежних напрямках (рис. 15.11, в). В іншому обчислення переміщення проводиться звичайним порядком.

Практично в більшості випадків плоскої задачі використовується лише один член формули переміщень. Саме, якщо розглядаються споруди, переважно працюють на вигин (балки, рами, а часто і арки), то у формулі переміщень з дотриманням цілком достатньою точністю можна залишити тільки інтеграл, що залежить від згинальних моментів. При розрахунку споруд, елементи яких працюють в основному на центральне розтягнення і стиснення (наприклад, ферм), можна не враховувати деформації вигину і зсуву; відповідно до цього у формулі переміщень залишається лише член, що містить поздовжні сили. У разі просторової задачі формула переміщень (інтеграл Мора) містить не три члена (як у випадку плоскої задачі), а шість - відповідно до числа внутрішніх зусиль, які можуть виникати в поперечних перетинах елементів. Ця формула має вигляд

де і -ізгібающіе моменти щодо осей у поперечних перерізів відповідно, виникають в одиничному стані; - то ж, в дійсний стан; і -поперечне сили, паралельні відповідно осях гну поперечного перерізу, що виникають в одиничному стані; ж, Ьдействітельном стані; - крутний момент, що виникають в одиничному і дійсному станах відповідно; і - поздовжні сили в цих же станах; - геометрична характеристика жорсткості на (див. § 6.6); при круглому поперечному перерізі де - полярний момент інерції.

Практично в більшості випадків просторової задачі використовуються або тільки три перших члена останньої формули (когдаелементи системи працюють переважно на вигин і кручення, наприклад при розрахунку просторових рам і ламаних балок), або тільки четвертий член формули (наприклад, при розрахунку просторових ферм).

Надалі при розрахунку балок і рам вплив поздовжніх і поперечних сил на переміщення не враховується, за винятком особливо відзначених випадків.

Розглянемо як приклад балку постійного перерізу, вільно лежить на двох опорах (рис. 16.11, а) і навантажену посередині силою Визначимо прогин балки під силою з урахуванням впливу всіх членів формули Мора (24.11).

Одиничним станом є стан, викликаний одиничним вантажем чинним на балку в напрямку шуканого переміщення (рис. 16.11, б).

Поздовжні сили, що виникають в поперечних перетинах балки від навантаження, дорівнюють нулю. Тому другий інтеграл формули (24.11) дорівнює нулю і ця формула набирає вигляду

де - прогин, обумовлений деформацією вигину (т. е. залежить від згинальних моментів):

- прогин, обумовлений деформацією зсуву (т. Е. Залежить від поперечних сил):

Для перетинів балки в межах від лівої опори до середини балки згинальні моменти і поперечні сили дорівнюють:

Епюри зображені на рис. 16.11. в, г, д, е. Підставимо значення моментів і поперечних сил в вирази

Інтегрування ведеться в межах лівої половини балки; числові коефіцієнти 2 перед інтегралами враховують, що з огляду на симетрії балки величина інтеграла для правої її половини така ж, як і для лівої.

Знак плюс вказує на те, що напрямок прогину збігається з напрямком одиничної сили. Знак мінус вказав би на те; що дійсне напрямок прогину точки С осі балки протилежно прийнятому напрямку одиничної сили

Знайдемо співвідношення між прогинами, залежними від поперечних сил і від згинальних моментів. Припустимо при цьому, що розглянута балка має прямокутний поперечний переріз зі сторонами b і А і що

Підставивши в останню формулу значення і прийнявши отримаємо

т. е. прогин, викликаний деформацією зсуву, становить лише 3% від прогину, викликаного деформацією вигину.

Вплив поперечних сил на величину прогину тим менше, чим менше відношення. Так, при

Цілком очевидно, що величиною в порівнянні з можна знехтувати. тоді

Цей результат збігається з результатом, обчисленим іншим способом в § 15.7.