Визначення модуля числа і його застосування при вирішенні рівнянь - студопедія

Суттєвою характеристикою числа є поняття його абсолютної величини - модуля. Слово «модуль» походить від латинського слова «modulus». що в перекладі означає «міра». Це слово, що має безліч значень, застосовується не тільки в математиці, але і у фізиці, архітектурі, техніці, програмуванні та інших точних науках.

Незважаючи на гадану простоту визначення модуля числа, рішення рівнянь і нерівностей, що містять невідомі під знаком модуля, викликає певні труднощі. Мабуть, вони пов'язані з тим, що рішення задач подібного роду передбачає елементарні навички дослідження, логічного мислення, які полягають в переборі різних можливих варіантів, так як в переважній більшості завдань одне рівняння або нерівність з модулем рівносильне сукупності або системі декількох рівнянь і нерівностей, звільнених від знака модуля.

У цьому розділі ми систематизували інформацію про модуль і розглянули деякі методи рішення рівнянь і нерівностей з модулем.

Модулем числа називають відстань від початку відліку до точки, яка зображує це число на числовій осі.

Модуль числа позначають символом.

Іншими словами, геометрично означає відстань на числовій осі від початку відліку до точки, яка зображує число.

Якщо. то на числової осі існує дві точки і. рівновіддаленою від нуля, модулі яких рівні.

Якщо. то на числової осі зображують точкою.

Приклад. Вирішимо рівняння:

Рішення. Згідно геометричній інтерпретації модуля, рівняння описує безліч точок, віддалених від початку відліку на відстань 3. Це точки

Приклад. Вирішимо рівняння:

Рішення. Згідно геометричній інтерпретації модуля, відстань не може бути негативно. Отже, дане рівняння рішень не має.

Відповідь. Рішень немає.

Термін «модуль» ввів англійський математик Р. Котес (1682 - 1716), знак модуля німецький математик К. Вейерштрасс (1815-1897) в 1841 р

Іноді замість терміна «модуль» використовують термін «абсолютна величина» або «абсолютне значення» числа.

Дамо алгебраїчне визначення модуля.

Визначення. Модуль числа або абсолютна величина числа дорівнює. якщо більше або дорівнює нулю і дорівнює. якщо менше нуля:

Приклад. Відповідно до наведеного визначення. .

З визначення модуля слід, що для будь-якого дійсного числа. .

Приклад. Вирішимо рівняння:

Рішення. Згідно алгебраическому визначенню модуля, маємо:.

Приклад. Вирішимо рівняння:

Рішення. Згідно алгебраическому визначенню модуля, маємо:. Отже, дане рівняння рішень не має.

Відповідь. Рішень немає.

Теорема 6. Абсолютна величина дійсного числа дорівнює більшому із двох чисел або.

Доведення. Якщо число позитивно, то число негативно, тобто. Звідси, в силу транзитивності відносини «менше», слід, що. В цьому випадку . тобто збігається з великим з двох чисел і.

Якщо число негативно, тоді число позитивно і. тобто великим числом є. За визначенням, в цьому випадку, - знову, так само більшому із двох чисел і. Теорема доведена.

Слідство. Для будь-якого дійсного числа справедливо:.

Доведення. Справді, як. так і рівні більшому із чисел і. а отже. рівні між собою.

Слідство. Для будь-якого дійсного числа справедливі нерівності. .

Доведення. Помножимо друга рівність на. змінивши при цьому знак нерівності на протилежний, отримаємо наступні нерівності:. справедливі для будь-якого дійсного числа. Об'єднуючи останні два нерівності в одне, отримаємо:.

Модуль числа може бути визначений і як найбільше з чисел a і -a.

Теорема 7. Абсолютна величина будь-якої дійсного числа дорівнює арифметичному квадратному кореню з. тобто .

Доведення. Справді, якщо. то, за визначенням модуля числа, маємо:.

З іншого боку, при. . отже,.

Якщо. тоді і і в цьому випадку.

Теорема 7 дає можливість при вирішенні деяких завдань замінювати на.

Для будь-яких дійсних чисел справедливі такі властивості:

.

; ; ;

;