Витяг квадратного кореня з багатозначного числа
У передмові до свого першого видання "В царстві кмітливості" (1908 рік) Е. І. Ігнатьєв пише: ". розумову самодіяльність, кмітливість і "кмітливість" не можна ні "втовкмачити", ні "вкласти" ні в чию голову. Результати надійні лише тоді, коли введення в область математичних знань відбувається в легкій і приємній формі, на предметах і прикладах повсякденного і повсякденного обстановки, підібраних з належним дотепністю і цікавістю ".
У передмові до видання 1911 р "Роль пам'яті в математиці" Є.І. Ігнатьєв пише "... в математиці слід пам'ятати не формулою, а процес мислення".
Для вилучення квадратного кореня існують таблиці квадратів для двозначних чисел, можна розкласти число на прості множники і витягти квадратний корінь з добутку. Таблиці квадратів може не вистачити, добування кореня розкладанням на множники - трудомістке завдання, яка теж не завжди приводить до бажаного результату. Спробуйте витягти квадратний корінь з числа 209 764? Розклад на прості множники дає твір 2 * 2 * 52441. Методом проб і помилок, підбором - це, звичайно, можна зробити, якщо бути впевненим в тому, що це ціле число. Спосіб, який я хочу запропонувати, дозволяє витягти квадратний корінь в будь-якому випадку.
Колись в інституті (Пермський державний педагогічний інститут) нас познайомили з цим способом, про який зараз хочу розповісти. Ніколи не замислювалася, чи є у цього способу доказ, тому зараз довелося деякі докази виводити самої.
Основою цього способу, є склад числа =.
=, Тобто 2 = 596334.
1. Розбиваємо число (5963364) на пари справа наліво (5`96`33`64)
2. Витягуємо квадратний корінь з першої зліва групи (- число 2). Так ми отримуємо першу цифру числа .
3. Знаходимо квадрат першої цифри (2 + 2 = 4).
4. Знаходимо різницю першої групи і квадрата першої цифри (5-4 = 1).
5.Сносім наступні дві цифри (отримали число 196).
6. подвоюється першу, знайдену нами цифру, записуємо зліва за межами міста (2 * 2 = 4).
7.Теперь необхідно знайти другу цифру числа : Подвоєна перша цифра, знайдена нами, стає цифрою десятків числа, при множенні якого на число одиниць, необхідно отримати число менше 196 (це цифра 4, 44 * 4 = 176). 4 - друга цифра числа .
8. Знаходимо різницю (196-176 = 20).
9. Зносимо наступну групу (отримуємо число 2033).
10. подвоюється число 24, отримуємо 48.
11.48 десятків в числі, при множенні якого на число одиниць, ми повинні отримати число менше 2033 (484 * 4 = 1936). Знайдена нами цифра одиниць (4) і є третя цифра числа .
Далі процес повторюється.
Доказ приведено мною для випадків:
1. Витяг квадратного кореня з тризначного числа;
2. Витяг квадратного кореня з чотиризначного числа.
Наближені методи добування квадратного кореня (без використання калькулятора) [2].
1.Древніе вавилоняни користувалися таким способом знаходження наближеного значення квадратного кореня їх числа х. Число х вони представляли у вигляді суми а 2 + b, де а 2 найближчий до числа х точний квадрат натурального числа а (а 2? Х), і користувалися формулою. (1)
Винесемо за допомогою формули (1) корінь квадратний, наприклад з числа 28:
Результат вилучення кореня з 28 за допомогою МК 5,2915026.
Як бачимо спосіб вавилонян дає хороше наближення до точного значення кореня.
2. Ісаак Ньютон розробив метод вилучення квадратного кореня, який сходив ще до Герону Олександрійському (близько 100 р н.е.). Метод цей (відомий як метод Ньютона) полягає в наступному.
Нехай а1 - перше наближення числа (як а1 можна брати значення квадратного кореня з натурального числа - точного квадрата, що не перевершує х).
Наступне, більш точне значення А2 числа знайдеться за формулою.
Третє, ще більш точне наближення і т.д.
(N + 1) -е наближення знайдеться за формулою.
Знаходження наближеного значення числа методом Ньютона дає наступні результати: а1 = 5; 2 = 5,3; а3 = 5,2915.
- итерационная формула Ньютона для знаходження квадратного кореня з числа х (n = 2,3,4, ..., аn - n-е наближення.
Зазначений мною спосіб дозволяє витягувати квадратний корінь з великого числа з будь-якою точністю, правда з істотним недоліком: громіздкість обчислень.