Витяг кореня n-го ступеня з комплексного числа - студопедія

Визначення. Коренем n-го ступеня з комплексного числа z називається комплексне число, n- ий степінь якого дорівнює z.

Отримаємо правило добування кореня n-го ступеня з комплексного числа, записаного в тригонометричної формі, користуючись визначенням. Отже, нехай. Знайдемо. Маємо за визначенням, звідки за формулою Муавра отримаємо. Так модуль комплексного числа визначається однозначно, а аргумент - з точністю до доданка, кратного, то і. Таким чином,, а.

Приклад. Знайти. Запишемо число в тригонометричної формі. Тепер застосуємо формулу.

Зауважимо, що при добуванні кореня третього ступеня отримали три різних комплексних числа. Справедлива наступна теорема.

Лемма. Існує рівно n різних коренів n-го ступеня з комплексного числа. Для отримання цих значень досить застосувати формулу для обчислення кореня при.

Цікавою властивістю володіють комплексні корені n-го ступеня з одиниці. Спробуємо отримати це властивість, розглядаючи приклад. Запишемо одиницю в тригонометричної формі і застосуємо формулу для обчислення коренів:

. Отримаємо шість різних значень. Зобразимо їх на комплексній площині.

Отже, отримані значення виявилися вершинами правильного шестикутника, вписаного в одиничну окружність, причому одна з вершин - в точці (1,0).

Це твердження можна узагальнити. Спробуйте зробити це самостійно.

Визначення. Корінь n-го ступеня з одиниці називається первісним коренем. якщо всі корені представимо у вигляді його ступеня.